Seno y coseno de un ángulo agudo. Su definición, propiedades y cálculo

El seno y coseno de un ángulo agudo juegan un importante papel en el estudio de las funciones seno y coseno, pero su tratamiento en los textos no se suele realizar en correspondencia con las condiciones necesarias para la comprensión de estas funciones.

La escritura del presente artículo ha surgido en el marco de reflexiones sobre cómo enseñar y aprender este contenido de modo que se preparen adecuadamente las condiciones para el estudio de las funciones seno y coseno en el bachillerato en correspondencia con las necesidades de la educación universitaria.

El artículo está dirigido a estudiantes de bachillerato, profesores de Matemática de este nivel y estudiantes universitarios que se forman como profesores de Matemática.

En el escrito defino el seno y coseno de un ángulo agudo, demuestro sus propiedades fundamentales y presento ejemplos de su cálculo.

Tabla de contenidos
Definición de seno y coseno
Propiedades
Ejemplos de seno y coseno
Conclusiones

Definición de seno y coseno de un ángulo agudo ↑

En esta sección defino el seno y el coseno de un ángulo agudo. Los conocimientos geométricos que se aplican corresponden  a la geometría sintética que se estudia en primaria y secundaria básica e incluye los conceptos de razón entre dos segmentos y triángulo rectángulo.

¿Qué son el seno y el coseno de un ángulo agudo?

Conoces desde la primaria que llamamos agudo a todo ángulo que tiene una amplitud menor que 90^{\circ} y mayor que 0^{\circ}.

Supongamos que tenemos un ángulo agudo de vértice O y lados p y q (Fig. 1).

Tracemos una recta perpendicular a la semirrecta p que corta a p en un punto A. Esta recta también corta a la semirrecta q en un punto B, según el quinto postulado de Euclides (Fig. 2).

Se ha construido el triángulo OAB, rectángulo en A, el cual tiene como ángulo interior, el ángulo (p,q). La hipotenusa de este triángulo es el segmento \overline{OB} y los catetos son los segmentos \overline{OA} y \overline{AB} . El cateto opuesto al ángulo (p,q) es \overline{AB} y el cateto adyacente a este ángulo es \overline{OA}.

Entre los lados del triángulo OAB se pueden formar seis razones sin repetir el lado en cada razón:  \frac{\overline{OA}}{\overline{AB}}, \frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}, \frac{\overline{AB}}{\overline{OA}}, \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}, \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}} y \frac{\overline{OB}}{\overline{AB}}.

Llamamos seno del ángulo (p,q) a la razón entre el cateto opuesto a este ángulo y la hipotenusa del triángulo OAB, es decir, a la razón \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}. El seno del ángulo (p,q) se denota por  sen{\,}\angle{(p,q)}, o sea,  sen{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}.

El coseno del ángulo (p,q) se define como la razón entre su cateto adyacente y la hipotenusa del triángulo OAB, es decir, la razón \frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}. El coseno del ángulo (p,q) se denota por cos{\,}\angle{(p,q)} y entonces cos{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{OB}}{\overline{OA}}.

Formulación de las definiciones

De acuerdo con los resultados del epígrafe anterior se puede formular la definición  siguiente de seno de un ángulo agudo.

Un número real k se llama seno de un ángulo agudo (p,q) si y solo si k es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que (p,q) es uno de sus ángulos interiores.

La definición de coseno es similar, solo hay que cambiar el antecedente de la razón.

Un número real k se llama coseno de un ángulo agudo (p,q) si y solo si k es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que (p,q) es uno de sus ángulos interiores.

En esta definición y también en la de seno de un ángulo agudo, la hipotenusa del triángulo puede ser parte de la recta que contiene a p o de la recta que contiene a q, como en la Figura 2.

El resto de las razones también tienen un nombre, pero no las trato en este escrito.

Como he definido el seno y el coseno de un ángulo agudo utilizando un triángulo rectángulo, en esta definición se puede utilizar cualquiera de los tres conceptos de ángulo que se tratan en la geometría.

Propiedades del seno y coseno de un ángulo agudo ↑

He definido el seno y coseno de un ángulo agudo en el mismo proceso porque estas razones están interrelacionadas, según se aprecia en algunas de sus propiedades que trato en esta sección.

Primera propiedad: la unicidad

Para calcular el seno y el coseno de un ángulo agudo según su definición, aplicamos el procedimiento siguiente:

1. Construimos un triángulo rectángulo que tenga el ángulo como ángulo interior.
2. Determinamos el seno del ángulo formando la razón entre la hipotenusa del triángulo y el cateto opuesto al ángulo.
3. Calculamos el coseno como la razón entre la hipotenusa del triángulo y el cateto adyacente al ángulo.

Surge la pregunta sobre si el seno y el coseno de un ángulo agudo dependen del triángulo rectángulo que se construya para determinarlos o si estas razones se mantienen constantes cualquiera sea el triángulo que se utilice. Dicho con otras palabras, la duda está en si el seno y el coseno de un ángulo agudo son únicos o no.

La respuesta a esta pregunta es afirmativa, es decir, que se cumple la propiedad siguiente.

El seno y coseno de todo ángulo agudo son únicos, es decir, todo ángulo agudo tiene un único seno y un único coseno.

La unicidad de los objetos matemáticos se establece considerando dos de ellos y demostrando que son iguales.

Si aplicamos esta idea a la unicidad del seno y el coseno de un ángulo agudo surgen los dos problemas siguientes:

Problema 1: Demostrar que si (p,q) es un ángulo agudo y k_{1} y k_{2} son senos de (p,q), entonces k_{1}=k_{2}.

Problema 2: Demostrar que si (p,q) es un ángulo agudo y r_{1} y r_{2} son cosenos de (p,q), entonces r_{1}=r_{2}.

Resolvamos los dos problemas.

Solución de Problema 1

Consideramos un ángulo agudo (p,q) de vértice O, dos números k_{1} y k_{2} que son senos de este ángulo y demostramos que k_{1}=k_{2}.

Como sen{\,}\angle{(p,q)}=k_{1}, según la definición de seno de un ángulo agudo, existe un triángulo rectángulo tal que (p,q) es uno de sus ángulos interiores y k_{1} es la razón entre el cateto opuesto a  (p,q) y la hipotenusa.

Se pueden presentar dos casos, según la hipotenusa del triángulo sea parte de la recta que contiene a q o de la recta que contiene a p. Denotemos el triángulo en el primer caso por OAB y en el segundo por OCD  (Fig. 3).

Por otra parte, como sen{\,}\angle{(p,q)}=k_{2}, existe un triángulo rectángulo tal que (p,q) es uno de sus ángulos interiores y k_{2} es la razón entre el cateto opuesto a  (p,q) y la hipotenusa.

Aquí también se pueden presentar dos casos, según la hipotenusa del triángulo sea parte de la recta que contiene a q o de la recta que contiene a p. Denotemos el triángulo en el primer caso por OEF y en el segundo por OGH (Fig. 4).

Combinando cada caso referido a k_{1} con uno de los casos relativos a k_{2} se obtienen los cuatro casos siguientes:

Primer caso: triángulos OAB y OEF.

Segundo caso: triángulos OAB y OGH.

Tercer caso: triángulos OCD y OEF.

Cuarto caso: triángulos OCD y OGH.

En los cuatro casos se cumple k_{1}=k_{2}. La demostración se basa en la semejanza de triángulos.

En el primer caso k_{1}=sen{\,}\angle{AOB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}  y k_{2}=sen{\,}\angle{EOF}=\frac{\overline{EF}}{\overline{OF}}.

Los triángulos OAB y OEF son semejantes por tener dos ángulos respectivamente iguales, pues uno de sus ángulos es recto y el ángulo (p,q) es común.

La correspondencia entre los vértices de ángulos iguales en estos triángulos la representamos mediante una flecha:

O{\longrightarrow}O,{\:}A{\longrightarrow}E{\:}y{\:}B{\longrightarrow}F.

Por tanto, la correspondencia entre los lados de los triángulos según la relación de semejanza es la siguiente:

\overline{OA}{\longrightarrow}\overline{OE},{\:}\overline{OB}{\longrightarrow}\overline{OF}{\:}y{\:}\overline{AB}{\longrightarrow}\overline{EF}.

Como en triángulos semejantes la razón entre los lados de un triángulo es igual a la razón entre los lados correspondientes del otro, se cumple lo siguiente:

\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{EF}}{\overline{OF}}.

Como k_{1}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}} y k_{2}=\frac{\overline{EF}}{\overline{OF}}, entonces k_{1}=k_{2}, es decir, en este caso el seno del ángulo (p,q) es único.

En los demás casos la igualdad de k_{1} y k_{2} se demuestra de forma similar. Cualquier duda la planteas en los comentarios.

Solución del Problema 2

Consideramos un ángulo agudo (p,q) de vértice O, dos números r_{1} y r_{2} que son cosenos de este ángulo y demostramos que r_{1}=r_{2}.

Aquí se presentan los mismos cuatro casos que en la demostración de la unicidad del seno. Por esta razón, utilizamos la Figura 4 y los resultados obtenidos en la resolución del Problema 1.

En el primer caso, r_{1}=cos{\:}\angle{AOB}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}} y r_{2}=cos{\:}\angle{EOF}=\frac{\overline{OE}}{\overline{OF}}.

Puesto que los triángulos OAB y OEF son semejantes y la razón entre dos lados de uno de ellos es igual a la razón entre los lados correspondientes del otro, se cumple:

\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OE}}{\overline{OF}}.

Esto significa que r_{1}=r_{2}, es decir, que el coseno del ángulo (p,q) es único.

La demostración en los demás casos es similar. Así queda resuelto el Problema 2.

Segunda propiedad del seno y coseno de un ángulo agudo

Una de las propiedades más importantes del seno y el coseno de un ángulo agudo relaciona estas razones porque se cumple la proposición siguiente:

La suma del cuadrado del seno y el coseno de un ángulo agudo es 1, es decir, si (p,q) es un ángulo agudo, entonces sen^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}+cos^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}=1.

La demostración de la veracidad de esta propiedad se basa en la aplicación de las definiciones de seno y coseno y el teorema de Pitágoras.

En efecto, si consideramos un triángulo OAB, rectángulo en A, tal que O sea el vértice del ángulo (p,q) y A y B estén situados en p y q, respectivamente (Fig. 5), se cumple:

sen^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}+cos^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}=sen^{2}{\,}{\angle}{AOB}+cos^{2}{\,}{\angle}{AOB}.

Pero   sen^{2}{\,}{\angle}{AOB}+cos^{2}{\,}{\angle}{AOB}=\frac{\overline{AB}^{2}}{\overline{OB}^{2}}+\frac{\overline{OA}^{2}}{\overline{OB}^{2}}=\frac{\overline{AB}^{2}+\overline{OA}^{2}}{\overline{OB}^{2}}.

Según el teorema de Pitágoras, \overline{AB}^{2}+\overline{OA}^{2}=\overline{OB}^{2}. Por tanto:

sen^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}+cos^{2}{\,}{\angle}{(p,q)}=\frac{\overline{OB}^{2}}{\overline{OB}^{2}}=1.

Tercera propiedad

La primera propiedad del seno y coseno de un ángulo agudo establece que cada ángulo tiene un seno y coseno únicos. Esta propiedad se puede generalizar porque también se cumple para ángulos iguales, es decir, se cumple la proposición siguiente:

Si dos ángulos agudos son iguales, sus senos y cosenos son respectivamente iguales.

En este contexto la igualdad de los ángulos la interpretamos en el sentido de la igualdad geométrica que se suele nombrar con la palabra congruencia y significa que dos figuras son iguales si una es la imagen de la otra por un movimiento.

Esta igualdad se suele denotar con el símbolo \cong, aunque también se denota con el símbolo de igualdad usual.

La demostración de la tercera propiedad es muy sencilla. Se basa en las definiciones de seno y coseno de un ángulo agudo y en la definición de igualdad de dos ángulos.

En efecto, si dos ángulos agudos (p,q) y (r,s) de vértices O y P, respectivamente, son iguales, entonces, según la definición de igualdad de ángulos, existen puntos A, B, Q y R tales que A\in{p}, B\in{q}, Q\in{r}, R\in{s}, \overline{OA}=\overline{PQ}, \overline{OB}=\overline{PR} y \overline{AB}=\overline{QR} (Fig. 6).

Según la definición de seno de un ángulo agudo se cumple:

sen{\,}{\angle}{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}} y sen{\,}{\angle}{(r,s)}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}}.

Como \overline{AB}=\overline{QR} y \overline{OB}=\overline{PR}, sustituimos en la igualdad anterior y resulta:

sen{\,}{\angle}{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}}=sen{\,}{\angle}{(r,s)}.

Así queda demostrado que los dos ángulos tienen igual seno.

La demostración de la igualdad de los cosenos se realiza de igual forma y la dejo para que la realices de forma independiente. Si te surgen dudas, las planteas en los comentarios.

Como todos los ángulos iguales tienen igual amplitud, podemos introducir un nuevo símbolo para el seno de cualquier ángulo agudo de amplitud dada y de igual manera hacerlo para el coseno.

En efecto, si \alpha denota la amplitud de un ángulo agudo, los símbolos sen{\,}{\alpha} y cos{\,}{\alpha} denotan, respectivamente, el seno y el coseno de cualquier ángulo de amplitud \alpha.  Por ejemplo, sen{\,}{30^{\circ}} denota el seno de cualquier ángulo cuya amplitud es 30^{\circ}.

De esta manera mantenemos la idea de que el seno y el coseno son números que se le asignan a un ángulo.

Cuarta propiedad

También se cumple el recíproco de la tercera propiedad, es decir, la proposición siguiente:

Si dos ángulos agudos tienen senos iguales o cosenos iguales, los ángulos son iguales.

La demostración de esta proposición se basa en la definición de seno y coseno de un ángulo agudo y en el criterio según el cual  dos triángulos son semejantes, si existe una correspondencia biyectiva entre sus vértices tal que la razón entre dos lados del primer triángulo es igual a la razón entre los lados correspondientes del otro y el ángulo determinado por los dos lados del primer triángulo es igual al correspondiente del segundo.

Supongamos que dos ángulos agudos (p,q) y (r,s) de vértices O y P, respectivamente, tienen senos iguales.

Esto significa, según la definición de seno de un ángulo agudo,  que si una recta perpendicular a p corta a p y q en los puntos A y B, respectivamente, y una recta perpendicular a r corta a r y s en los puntos Q y R, respectivamente, entonces sen{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}} y sen{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}} (Fig. 7).

Como los senos de los ángulos (p,q) y (r,s) son iguales, entonces \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}}.

Los ángulos OAB y PQR son iguales por ser rectos. Entonces consideramos la correspondencia biyectiva siguiente entre los vértices de los triángulos OAB y PQR:

O{\longrightarrow}P,{\;}A{\longrightarrow}Q{\;}y{\;}B{\longrightarrow}R.

Los lados correspondientes son los siguientes:

\overline{OA}{\longrightarrow}\overline{PQ},{\;}\overline{OB}{\longrightarrow}\overline{PR}{\;}y{\;}\overline{AB}{\longrightarrow}\overline{QR}.

Como \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}} y los ángulos  OAB y PQR son iguales, entonces los triángulos OAB y PQR son semejantes y en consecuencia los ángulos AOB y QPR son iguales por ser ángulos correspondientes en dos triángulos semejantes, es decir, los ángulos (p,q) y (r,s) son iguales.

La demostración de la propiedad para el coseno se realiza de forma similar.

La cuarta propiedad es muy importante en la geometría porque expresa que el seno o el coseno de un ángulo agudo determinan el ángulo de forma única salvo igualdad. Ello nos indica que conocido el seno o el coseno, podemos determinar el ángulo y que todos los ángulos que determinemos son iguales.

Quinta propiedad

Dos ángulos agudos cuyas amplitudes suman 90^{\circ} se llaman complementarios.

El seno de todo ángulo agudo es igual al coseno de su ángulo complementario y el coseno es igual al seno de su ángulo complementario, es decir, si \alpha es la amplitud de un ángulo agudo, entonces sen{\,}({90^{\circ}-{\alpha}})=cos{\,}{\alpha} y cos{\,}({90^{\circ}-{\alpha}})=sen{\,}{\alpha}.

La demostración de esta propiedad resulta directamente de la aplicación de la definición de seno y coseno de un ángulo agudo y del teorema sobre la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo.

Sexta propiedad

De acuerdo con la definición, el seno y el coseno de un ángulo agudo son menores que 1. Concretamente se cumple la propiedad siguiente:

El seno y el coseno de todo ángulo agudo es un número real del intervalo ]0,1[.

La demostración de esta propiedad es muy sencilla. Resulta de las propias definiciones de seno y coseno de un ángulo agudo.

En efecto, como el seno de un ángulo agudo es la razón entre un cateto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo y la hipotenusa tiene mayor longitud que cualquiera de los catetos, entonces el seno es menor que 1. Lo mismo ocurre con el coseno.

Por otra parte, como toda razón entre segmentos es un número positivo, entonces el seno y el coseno de un ángulo agudo son números positivos, es decir, números reales del intervalo ]0,1[.

Séptima propiedad

La sexta propiedad afirma que el seno y el coseno de todo ángulo agudo es un número del intervalo ]0,1[, pero no expresa que todo número de este intervalo sea el seno o el coseno de algún ángulo agudo. Tal afirmación corresponde a la séptima propiedad.

La sexta propiedad no afirma que todo número real del intervalo ]0,1[ sea el seno o el coseno de algún ángulo agudo. Esto se cumple y lo expresa la séptima propiedad.

Todo número real del intervalo ]0,1[ es seno de algún ángulo agudo y coseno de algún ángulo agudo, es decir, para todo número real k del intervalo ]0,1[ existen ángulos agudos (p,q) y (r,s) tales que sen{\,}{\angle}{(p,q)}=k y cos{\,}{\angle{(r,s)}}=k.

El problema consistente en demostrar esta proposición se puede descomponer en dos problemas.

Problema 3: Demostrar que para todo k\in{]0,1[} existe un triángulo OAB, rectángulo en A,  tal que  \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=k.

Problema 4: Demostrar que para todo k\in{]0,1[} existe un triángulo PQR, rectángulo en Q, tal que \frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=k.

Como para resolver cada problema, debemos probar la existencia de un triángulo con la propiedad exigida, debemos construir el triángulo en cada caso.

Vamos a utilizar el teorema de Pitágoras y el más conocido de sus recíprocos, es decir, la proposición según la cual si el cuadrado de la longitud de unos de los lados de un triángulo es igual a la suma del cuadrado de las longitudes de los otros dos lados, el triángulo es rectángulo.

Solución del Problema 3

Comenzamos aplicando la estrategia conocida como “trabajo hacia atrás” que en este caso significa partir del triángulo que deseamos construir para determinar relaciones entre sus lados.

El triángulo  OAB debe cumplir la propiedad \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=k, es decir, \overline{AB}=k{\,}{\overline{OB}}.

Como el triángulo OAB  ha de ser rectángulo en A, entonces según el teorema de Pitágoras se cumpliría:

\overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}.

Como \overline{AB}=k{\,}{\overline{OB}}, de la igualdad anterior y esta igualdad resulta:

\overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+k^{2}{\:}\overline{OB}^{2}.

Ahora despejamos \overline{OA} y obtenemos \overline{OA}=\sqrt{1-k^{2}}{\;}\overline{OB}.

Hemos obtenido dos relaciones entre los lados del triángulo OAB suponiendo que este triángulo es rectángulo en A.

Probemos, inversamente, que si existen estas relaciones entre los lados del triángulo OAB, este triángulo es rectángulo en A.

Si \overline{AB}=k{\,}{\overline{OB}} y \overline{OA}=\sqrt{1-k^{2}}{\;}\overline{OB}, tendríamos que:

\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}=(\sqrt{1-k^{2}}{\;}\overline{OB})^{2}+(k{\,}{\overline{OB}})^{2}.

Pero (\sqrt{1-k^{2}}{\;}\overline{OB})^{2}+(k{\,}{\overline{OB}})^{2}=(1-k^{2}){\:}\overline{OB}^{2}+k^{2}{\:}\overline{OB}^{2}=\overline{OB}^{2}.

Por tanto, según el recíproco del teorema de Pitágoras, el triángulo OAB es rectángulo en A.

Debemos entonces construir un triángulo OAB de modo que \overline{AB}=k{\,}{\overline{OB}} y \overline{OA}=\sqrt{1-k^{2}}{\;}\overline{OB}.

Ahora vamos a probar que realmente este triángulo se puede construir.

Utilizamos una vía de solución que comienza por construir el segmento \overline{OA}. Por esta razón, debemos expresar \overline{AB} en términos de \overline{OA}.

Si despejamos \overline{OB} en la igualdad \overline{OA}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{OB}, resulta \overline{OB}=\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}}{\:}\overline{OA}.

Ahora sustituimos \overline{OB} en la igualdad \overline{AB}=k{\,}{\overline{OB}} y obtenemos:

\overline{AB}=k{\:}\frac{1}{\sqrt{1-k^{2}}}{\:}\overline{OA}=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}{\:}\overline{OA}.

Sea k\in{]0,1[}. Construyamos un triángulo OAB que satisfaga la condición \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=k.

Seleccionamos dos puntos diferentes O y A del plano y trazamos la semirrecta OA (Fig. 8).

Como el triángulo OAB debe ser rectángulo en A, construimos la recta perpendicular a OA que pasa por A y la denotamos por t (Fig. 9).

Ahora transportamos un segmento de longitud \frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}{\:}\overline{OA} a una de las semirrectas de origen A  en t y obtenemos un punto B de t tal que \overline{AB}=\frac{k}{\sqrt{1-k^{2}}}{\:}\overline{OA}=k{\:}\overline{OB}. Así garantizamos la condición \overline{AB}=k{\:}\overline{OB} (Fig. 10).

Finalmente, trazamos la recta OB para obtener el triángulo OAB, rectángulo en A. Este triángulo satisface la condición \frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=k y por tanto el ángulo AOB es un resultado de la resolución del Problema 3 (Fig. 11).

Según la definición de seno de un ángulo agudo se cumple sen{\,}{\angle}{AOB}=k.

El Problema 3 tiene infinitas soluciones porque todos los ángulos iguales al ángulo AOB satisfacen las exigencias, según la tercera propiedad.

Solución del cuarto problema

Resolvamos el segundo problema procediendo de manera análoga que en la resolución del primero.

El triángulo PQR debe cumplir la propiedad \frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=k, es decir, \overline{PQ}=k{\:}\overline{PR}.

Como el triángulo PQR ha de ser rectángulo en Q, entonces según el teorema de Pitágoras se cumpliría:

\overline{PR}^{2}=\overline{}PQ^{2}+\overline{PR}^{2}.

Como \overline{PQ}=k{\:}\overline{PR}, de la igualdad anterior y esta igualdad resulta:

\overline{PR}^{2}=k^{2}{\:}\overline{PR}^{2}+\overline{QR}^{2}.

Ahora despejamos \overline{QR} y obtenemos \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR}.

Hemos obtenido dos relaciones entre los lados del triángulo PQR suponiendo que este triángulo es rectángulo en Q.

Probemos, inversamente, que si existen estas relaciones entre los lados del triángulo PQR, este triángulo es rectángulo en Q.

Si \overline{\overline{PQ}}=k\overline{PR} y \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR}, tendríamos que:

\overline{PQ}^{2}+\overline{QR}^{2}=(k{\:}\overline{PR})^{2}+(\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR})^{2}.

Y como (k{\:}\overline{PR})^{2}+(\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR})^{2}=k^{2}{\:}\overline{PR}^{2}+(1-k^{2}){\:}\overline{PR}^{2}=\overline{PR}^{2}, entonces \overline{PQ}^{2}+\overline{QR}^{2}=\overline{PR}^{2}

Por tanto, según el recíproco del teorema de Pitágoras, el triángulo PQR es rectángulo en Q.

Debemos entonces construir el triángulo PQR de modo que \overline{PQ}=k{\:}\overline{PR} y \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR}.

Ahora vamos a probar que realmente este triángulo se puede construir.

Como utilizamos una vía de solución en que comenzamos por construir el segmento \overline{PQ}, debemos expresar \overline{QR} en términos de \overline{PQ}.

Si despejamos \overline{PR} en la igualdad \overline{PQ}=k{\:}\overline{PR}, resulta . \overline{PR}=\frac{1}{k}{\:}\overline{QR}.

Ahora sustituimos \overline{PR} en la igualdad \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR}  y obtenemos la relación que necesitamos \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\frac{1}{k}{\:}\overline{PQ}=\frac{\sqrt{1-k^{2}}}{k}{\:}\overline{PQ}.

Sea k\in{]0,1[}. Construyamos un triángulo PQR que satisfaga la condición \frac{\overline{PQ}}{\overline{QR}}=k.

Seleccionamos dos puntos diferentes P y Q del plano y trazamos la semirrecta PQ (Fig. 12).

Como el triángulo PQR debe ser rectángulo en Q, construimos la recta perpendicular a PQ que pasa por Q y la denotamos por u (Fig. 13).

Ahora transportamos un segmento de longitud \frac{\sqrt{1-k^{2}}}{k}{\:}\overline{PQ} a una de las semirrectas de origen Q  en u y obtenemos un punto R tal que \overline{QR}=\frac{\sqrt{1-k^{2}}}{k}{\:}\overline{PQ}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR}.

De esta manera garantizamos la condición \overline{QR}=\sqrt{1-k^{2}}{\:}\overline{PR} (Fig. 14).

Finalmente, trazamos la recta PR para obtener el triángulo PQR, rectángulo en Q. Este triángulo satisface la condición \frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=k y por tanto es un resultado de la resolución del Problema 4 (Fig. 15).

Según la definición de coseno de un ángulo agudo se cumple cos{\,}\angle{QOR}=k.

De igual manera que en el Problema 3, el Problema 4 tiene infinitas soluciones porque todos los ángulos iguales al ángulo QPR satisfacen las exigencias del problema.

Octava propiedad

Si la amplitud de un ángulo agudo aumenta, el seno aumenta, mientras el coseno disminuye, es decir, si (p,q) y (r,s) son dos ángulos agudos de amplitudes \alpha y \beta, respectivamente, y \alpha<\beta, entonces sen{\,}\angle{(p,q)}<sen{\,}\angle{(r,s)} y cos{\,}\angle{(p,q)}>cos{\,}\angle{(r,s)}.

El problema consistente en demostrar esta proposición se descompone en los dos problemas siguientes:

Problema 5: Demostrar que si la amplitud del ángulo agudo (p,q) es menor que la amplitud del ángulo agudo (r,s), entonces sen{\,}\angle{(p,q)}<sen{\,}\angle{(r,s)}.

Problema 6: Demostrar que si la amplitud del ángulo agudo (p,q) es menor que la amplitud del ángulo agudo (r,s), entonces cos{\,}\angle{(p,q)}>cos{\,}\angle{(r,s)}.

Solución del Problema 5

Resolvamos el Problema 5. En ello aplicaremos la definición de la relación de orden entre amplitudes de ángulos intersección agudos, la definición de seno de un ángulo agudo y una propiedad de las razones numéricas, también válida para las razones entre segmentos según la cual, si 0<a<b y c>0, entonces \frac{a+c}{b+c}>\frac{a}{b}.

Sean (p,q) y (r,s) dos ángulos de vértices O y P, respectivamente, tales que la amplitud de (p,q) es menor que la amplitud de (r,s). Entonces, según la definición de la relación de orden entre amplitudes, existe una semirrecta t de origen P tal que \angle{(p,q)}=\angle{(r,t)} y \angle{(r,t)}\subset\angle{(r,s)} (Fig. 16).

Determinemos el seno del ángulo (r,s). Seleccionamos un punto Q en la semirrecta r y trazamos la recta perpendicular a r que pasa por Q (Fig. 17). Esta recta corta a las semirrectas t y s en dos puntos R y S, respectivamente, según el quinto postulado de Euclides.

Según la definición de seno de un ángulo agudo, sen{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{QS}}{\overline{PS}} y sen{\,}\angle{(r,t)}=\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}}.

Como \overline{QS}=\overline{QR}+\overline{RS}, entonces sen{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{QS}}{\overline{PS}}=\frac{\overline{QR}+\overline{RS}}{\overline{PS}}.

Según la desigualdad triangular en el triángulo PRS, se cumple \overline{PS}<\overline{PR}+\overline{RS}.

En consecuencia  y aplicando la propiedad de la desigualdad entre las razones mencionada a principio de este epígrafe, se cumple:

sen{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{QR}+\overline{RS}}{\overline{PS}}=\frac{\overline{QR}+\overline{RS}}{\overline{PR}+\overline{RS}}>\frac{\overline{QR}}{\overline{PR}}=sen{\,}\angle{(r,t)}.

Como sen{\,}\angle{(p,q)}=sen{\,}\angle{(r,t)} por ser ángulos iguales, entonces sen{\,}\angle{(r,s)}>sen{\,}\angle{(p,q)}, es decir, queda resuelto el Problema 5.

Solución del Problema 6

Resolvamos ahora el Problema 6 de manera análoga a como lo hemos hecho con el Problema 5.

Podemos realizar los razonamientos a partir de la figura construida en la resolución del Problema 5.

Según la definición de coseno de un ángulo agudo, cos{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{PS}} y cos{\,}\angle{(r,t)}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}.

El ángulo PRS tiene una amplitud mayor que 90^{\circ} según el teorema del ángulo exterior aplicado al triángulo PQR.

Entonces el ángulo PSR es agudo, según el teorema sobre la suma de las amplitudes de los ángulos interiores aplicado al triángulo PRS.

En consecuencia \overline{PS}>\overline{PR} porque el ángulo opuesto a \overline{PS} tiene mayor amplitud que el ángulo opuesto a \overline{PR} en el triángulo PRS.

Entonces cos{\,}\angle{(r,s)}=\frac{\overline{PQ}}{\overline{PS}}<\frac{\overline{PQ}}{\overline{PR}}=cos{\,}\angle{(r,t)}=cos{\,}\angle{(p,q)}.

Por tanto, cos{\,}\angle{(p,q)}>cos{\,}\angle{(r,s)} y así queda resuelto el Problema 6.

Ejemplos de cálculo del seno y coseno de un ángulo agudo ↑

En la segunda sección  presenté un procedimiento para calcular el seno y el coseno de un ángulo agudo que se basa en construir un triángulo rectángulo y utilizar las longitudes de sus lados.

Estas longitudes se pueden obtener mediante medición o utilizando propiedades en algunos casos especiales de triángulos.

Cuando utilizamos mediciones, el cálculo será aproximado en dependencia de la precisión del instrumento de medición que utilicemos.

En esta sección presento tres ejemplos de ángulos cuyo seno y coseno se puede determinar sin realizar mediciones porque en ellos se obtiene una relación entre las longitudes de los lados del triángulo aplicando propiedades. Se trata de ángulos que tienen una amplitud de 30^{\circ}, 45^{\circ} o 60^{\circ} a  los cuales se les llama ángulos notables.

Seno y coseno de ángulos de 30^{\circ}

Sea (p,q) un ángulo de 30^{\circ}. Para determinar el seno y coseno de este ángulo construimos un triángulo rectángulo OAB tal que (p,q) sea uno de sus ángulos interiores (Fig. 18).

Ahora aplicamos la conocida propiedad según la cual en todo triángulo rectángulo con un ángulo de 30^{\circ}, la longitud del cateto que se opone a este ángulo es la mitad de la longitud de la hipotenusa.

Según esta propiedad \overline{OB}=2{\:}\overline{AB} y por tanto sen{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{AB}}{2{\:}\overline{AB}}=\frac{1}{2}, es decir, sen{\,}30^{\circ}=\frac{1}{2}.

Para determinar el coseno del ángulo (p,q) aplicando la definición, expresamos la longitud del cateto \overline{OA} en función de la hipotenusa \overline{OB}.

Aplicamos el teorema de Pitágoras al triángulo OAB resultando \overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}.

Como \overline{AB}=\frac{1}{2}{\:}\overline{OA}, según esta igualdad y la anterior, resulta \overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\frac{1}{4}{\:}\overline{OB}^{2}.

Ahora despejamos \overline{OA} y obtenemos \overline{OA}=\frac{\sqrt{3}}{2}{\:}\overline{OB}.

Entonces  cos{\,}{(p,q)}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}{\:}\overline{OB}}{\overline{OB}}=\frac{\sqrt{3}}{2}, es decir, cos{\,}30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Otra vía de solución para calcular el coseno de 30^{\circ} consiste en aplicar la segunda propiedad del seno y coseno de un ángulo agudo, es decir, sustituir el seno de 30^{\circ} en la igualdad sen^{2}{\,}{30^{\circ}}+cos^{2}{\,}{30^{\circ}}=1  y despejar cos{\,}30^{\circ} teniendo en cuenta que el coseno de 30^{\circ} es un número positivo.

Seno y coseno de ángulos de 60^{\circ}

Para calcular el seno y coseno de ángulos de 60^{\circ} podemos utilizar el mismo triángulo que empleamos para calcular el seno y el coseno de ángulos de 30^{\circ}.

En efecto, sen{\,}60^{\circ}=sen{\,}\angle{ABO)}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{\sqrt{3}}{2} y cos{\,}60^{\circ}=cos{\,}\angle{ABO)}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{1}{2}.

En este ejemplo se aprecia que el seno de un ángulo agudo es el coseno de su ángulo complementario y el coseno de un ángulo agudo es igual al seno de su ángulo complementario.

Seno y coseno de ángulos de 45^{\circ}

Sea (p,q) un ángulo de 45^{\circ}. Para determinar el seno y coseno de este ángulo construimos un triángulo rectángulo OAB tal que (p,q) sea uno de sus ángulos interiores (Fig. 19).

El triángulo OAB tiene dos ángulos interiores cuya amplitud es 45^{\circ}, según el teorema sobre la suma de las amplitudes de los ángulos interiores de un triángulo.

En consecuencia este triángulo es isósceles con \overline{OA}=\overline{OB} porque en todo triángulo a ángulos iguales se oponen lados iguales.

Ahora aplicamos el teorema de Pitágoras para expresar la hipotenusa \overline{OB} en función de cualquiera de los catetos \overline{OA} y \overline{OB}.

Según el teorema de Pitágoras, en el triángulo OAB se cumple \overline{OB}^{2}=\overline{OA}^{2}+\overline{AB}^{2}.

Como \overline{OA}=\overline{OB}, obtenemos \overline{OB}^{2}=2{\:}\overline{AB}^{2}, es decir, \overline{OB}=\sqrt{2}{\:}\overline{AB}.

Entonces  sen{\,}45^{\circ}=sen{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{AB}}{\sqrt{2}{\:}\overline{AB}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, es decir, sen{\,}45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Por otra parte, cos{\,}45^{\circ}=cos{\,}\angle{(p,q)}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}=\frac{\overline{OA}}{\sqrt{2}{\:}\overline{OA}}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}, es decir, cos{\,}45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.

Tabla resumen

A modo de resumen presento en una tabla el seno y el coseno de ángulos de 30^{\circ}, 45^{\circ} y 60^{\circ}. Esta tabla debes memorizarla porque tendrás que utilizarla con frecuencia (Tabla 1).

Tabla 1: Seno y coseno de ángulos de 30^{\circ},45^{\circ} y 60^{\circ}.
Amplitud del ángulo	Seno	Coseno
30^{\circ}	\frac{1}{2}	\frac{\sqrt{3}}{2}
45^{\circ}	\frac{\sqrt{2}}{2}	\frac{\sqrt{2}}{2}
60^{\circ}	\frac{\sqrt{3}}{2}	\frac{1}{2}

Una forma de memorizar la construcción de la tabla consiste en escribir en la primera columna las amplitudes de los ángulos y en la segunda, las fracciones  \frac{1}{2}, \frac{2}{2} y \frac{3}{2}. Después se coloca una raíz cuadrada en el numerador de cada fracción y se obtiene la segunda columna.

La tercera columna se obtiene invirtiendo el orden de los números de la segunda columna.

Conclusiones ↑

Durante la lectura del artículo habrás podido apreciar que los ejemplos de seno y coseno de un ángulo agudo son pares ordenados de la forma (A,R), donde A representa un ángulo agudo y R una razón entre dos segmentos.

En el caso del seno, R es la razón entre el cateto opuesto al ángulo A y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que A es uno de sus ángulos interiores agudos.

En los ejemplos (A,R) de coseno, R es la razón entre el cateto adyacente al ángulo A y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que A es uno de sus ángulos interiores agudos.

Lo anterior significa que las extensiones de los conceptos de seno y coseno de un ángulo agudo son conjuntos de pares ordenados cuya primera componente es un ángulo agudo y cuya segunda componente es un número real mayor que cero y menor que 1.

En las tareas que exigen determinar el seno o el coseno de un ángulo agudo se considera conocido el ángulo y desconocido su seno o coseno. Resolver la tarea consiste precisamente en calcular estas razones.

En cambio, se puede presentar una tarea inversa, es decir, una tarea en que se conoce el seno o el coseno de un ángulo agudo y se necesita construir el ángulo o determinar su amplitud. La resolución de tareas de este tipo no la he tratado en este artículo porque es contenido de otro escrito.

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