El seno y coseno de un ángulo son valores que se necesitan con frecuencia en la aplicación de la trigonometría o en su aprendizaje. Si deseas saber cuál es el seno de 90 grados o el coseno de 90 grados, has llegado al lugar adecuado porque en el párrafo siguiente te ofrezco esta información.
El seno de 90 grados es 1 y el coseno es 0, pero quizás en poco tiempo olvides estos valores, si no aprendes el porqué de su asignación.Por eso te invito a leer todo este escrito, pues en él te explico el porqué de la asignación de estos valores a los ángulos rectos para ayudarte a recordarlos por mucho tiempo. También te proporciono recursos para recuperarlos de tu memoria, si llegas a olvidarlos.
La comprensión del escrito requiere de conocimientos sobre el seno y coseno de ángulos cuya amplitud es mayor o igual que 0^{\circ} y menor que 90^{\circ}, los cuales han sido tratados en otras páginas de este sitio web.
¿Qué significa la frase “90 grados” en geometría y trigonometría? ↑
La medición de segmentos y ángulos es una de las tareas a las que se dedica la geometría. En el caso de los segmentos se mide la longitud, mientras que en los ángulos se mide la amplitud.
La longitud de un segmento expresa el grado de separación de sus extremos, mientras la amplitud de un ángulo expresa el grado de separación de sus lados, aunque la separación en ambos casos tiene naturaleza diferente.
Para medir la amplitud de un ángulo se compara este con otro ángulo del que conozcamos cuán separados están sus lados. En esta tarea, es útil emplear un ángulo recto, es decir, un ángulo que es igual a cualquiera de sus dos ángulos adyacentes.
Entonces asignamos a cualquier ángulo recto una amplitud de 90 grados (90^{\circ}), es decir, consideramos que el grado de separación de los lados de todo ángulo recto es 90.
Si dividimos un ángulo recto en 90 ángulos iguales, cada uno de estos tiene una amplitud de un grado (1^{\circ}).
Utilizamos el grado para medir la amplitud de los ángulos. Por ejemplo, si un ángulo tiene una amplitud de 45^{\circ}, ello significa que sus lados tienen la mitad de la separación que tienen los lados de un ángulo recto.
En resumen, la frase “90 grados”, cuya representación simbólica es 90^{\circ}, designa la amplitud de cualquier ángulo recto.
La necesidad de definir el seno de 90 grados y el coseno de 90 grados ↑
El seno de un ángulo agudo se define como la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en el que este ángulo es interior, mientras el coseno se conceptualiza como la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa del mismo triángulo.
Estas definiciones no se pueden aplicar a ningún ángulo recto porque no existe triángulo con dos ángulos rectos, pues las amplitudes de sus ángulos interiores suman 180^{\circ}.
Por esta razón, es necesario elaborar las definiciones del seno y coseno de ángulos rectos, es decir, de ángulos cuya amplitud es de 90^{\circ}.
Como todos los ángulos rectos son iguales, en la elaboración de estas definiciones debe considerarse como requisito que todos los ángulos rectos tengan el mismo seno y el mismo coseno de modo que se conserve la propiedad (válida para ángulos agudos) según la cual a ángulos iguales corresponden senos iguales y cosenos iguales.
Entonces tendrían sentido las frases “seno de 90 grados” y “coseno de 90 grados” como formas verbales de expresar el seno y el coseno de cualquier ángulo recto.
¿Cómo definir el seno y el coseno de 90 grados? ↑
La tarea consistente en definir el seno y coseno de un ángulo recto tiene como exigencia la elaboración de reglas que asignen a cada ángulo recto un número real como seno y un número real como coseno de manera que esta asignación sea compatible con las propiedades esenciales del seno y coseno de los ángulos con amplitud mayor o igual que 0^{\circ} y menor que 90^{\circ}.
Propiedades del seno y coseno a tener en cuenta
Las propiedades que debes tener en cuenta son las siguientes:
1. Todo ángulo tiene un único seno y un único coseno.
2. Los ángulos iguales tienen senos iguales y cosenos iguales.
3. La suma de los cuadrados del seno y coseno de un ángulo es 1.
4. El seno de un ángulo es igual al coseno de su ángulo complementario.
5. El coseno de un ángulo es igual al seno de su ángulo complementario.
6. Si dos ángulos tienen diferentes amplitudes, el de menor amplitud tiene menor seno y mayor coseno (monotonía del seno y coseno).
7. Si dos ángulos tienen senos o cosenos iguales, los ángulos son iguales.
8. El valor del seno de un ángulo pertenece al intervalo [0,1[, mientras el valor del coseno es un número del intervalo ]0,1].
9. Fórmulas del seno de una suma y coseno de una suma.
Si deseas recuperar tus conocimientos sobre estas propiedades del seno y coseno para ángulos agudos, haz clic en el enlace para cargar la sección de la página donde te las explico detalladamente.
Definición de seno y coseno de 90 grados
Vamos a partir de la cuarta y quinta propiedades de la lista anterior, según las cuales si \alpha es la amplitud de un ángulo agudo, entonces sen{\;}(90^{\circ}-\alpha)=cos{\;}\alpha y cos{\;}(90^{\circ}-\alpha)=sen{\;}\alpha.
Si estas propiedades también fueran válidas para \alpha=90^{\circ}, tendríamos que considerar las definiciones del seno y coseno de los ángulos nulos, es decir, las reglas sen{\;}0^{\circ}=0 y cos{\;}0^{\circ}=1, tratadas en el escrito sobre el seno y coseno de 0 grados.
De esta manera serían válidas las igualdades sen{\;}90^{\circ}=sen{\;}(90^{\circ}-0^{\circ})=cos{\;}0^{\circ}=1 y también las igualdades cos{\;}90^{\circ}=cos{\;}(90^{\circ}-0^{\circ})=sen{\;}0^{\circ}=0.
Esto nos indica la conveniencia de definir el seno de 90 grados como 1 y el coseno de 90 grados como 0, es decir, asumir las reglas siguientes como definiciones del seno y coseno de cualquier ángulo recto:
sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0\\[12pt]
¿Por qué el coseno de 90 grados es 0 y el seno es 1? ↑
Una diferencia esencial entre las definiciones y proposiciones matemáticas consiste en que las proposiciones son verdaderas o falsas, mientras las definiciones son convenientes o inconvenientes.
Explicar porqué el coseno de 90 grados es 0 y el seno es 1 es argumentar la conveniencia de las definiciones anteriormente formuladas.
La argumentación de la conveniencia de las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0 se basa en la prueba de la compatibilidad de estas con las propiedades del seno y coseno de ángulos cuya amplitud es mayor o igual que 0^{\circ} y menor que 90^{\circ} que se analiza en los epígrafes siguientes.
La compatibilidad se prueba demostrando que no existen contradicciones entre estas reglas y tales propiedades, particularmente si las reglas garantizan que las propiedades se cumplan también para ángulos rectos.
Compatibilidad con la unicidad del seno y coseno
Según las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0, a cada ángulo recto se le asocia como seno el número 1 y como coseno el número 0.
Por esta razón, no existe la posibilidad de asignar al mismo ángulo recto dos senos diferentes o dos cosenos distintos, es decir, se conserva la unicidad del seno y coseno de un ángulo, válida para ángulos agudos o nulos.
Compatibidad con la igualdad de senos o cosenos de ángulos iguales
La formulación de las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0 contiene implícitamente la compatibilidad con la propiedad según la cual a ángulos iguales corresponden senos iguales o cosenos iguales, pues las reglas están formuladas para cualquier ángulo recto al utilizar una amplitud.
Compatibilidad con la suma del cuadrado del seno y coseno
Al sumar el cuadrado del seno y coseno de 90 grados se obtiene 1:
sen^{2}{\;}90^{\circ}+cos^{2}{\;}90^{\circ}=1^{2}+0^{2}=1.Compatibilidad con el seno y coseno de ángulos complementarios
Las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0 se han formulado a partir de las propiedades del seno y coseno de ángulos complementarios de modo que se ha garantizado su compatibilidad con estas propiedades.
Compatibilidad con la monotonía del seno y coseno
La propiedad sobre la monotonía del seno y coseno expresa que si \alpha_{1} y \alpha_{2} son las amplitudes de dos ángulos tales que 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}, 0^{\circ}\le\alpha_{2}<90^{\circ} y además \alpha_{1}<\alpha_{2}, entonces se cumple sen{\;}\alpha_{1}<sen{\;}\alpha_{2} y cos{\;}\alpha_{1}>cos{\;}\alpha_{2}.
Para que las reglas que definen el seno y coseno de 90 grados sean compatibles con la propiedad anterior, esta debe cumplirse si sustituimos las desigualdades 0^{\circ}\le\alpha_{2}<90^{\circ} por las desigualdades 0^{\circ}\le\alpha_{2}\le90^{\circ}, es decir, si se incluye la posibilidad de que \alpha_{2} sea 90^{\circ}.
No se considera el caso \alpha_{1}=90^{\circ} porque debe cumplirse \alpha_{1}<\alpha_{2}.
Si \alpha_{2}=90^{\circ}, entonces 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}, pues \alpha_{1}<\alpha_{2}.
Según la propiedad sobre los posibles valores del seno de ángulos cuya amplitud \alpha_{1} satisface la condición 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}, se cumple 0\le{sen{\;}\alpha_{1}}<1 y en consecuencia sen{\;}{\alpha_{1}}<1.
Como \alpha_{2}=90^{\circ} y sen{\;}90^{\circ}=1, entonces es válida la desigualdad sen{\;}\alpha_{1}<sen{\;}\alpha_{2}, es decir, se conserva la monotonía del seno si \alpha_{2}=90^{\circ}.
Por otra parte, según la propiedad de los posibles valores del coseno para ángulos cuya amplitud \alpha_{1} satisface laa condición 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}, se cumple 0<cos{\;}\alpha_{1}\le1 y por tanto también es válida la desigualdad 0<cos{\;}\alpha_{1}.
Como \alpha_{2}=90^{\circ} y cos{\;}90^{\circ}=0, entonces cos{\;}\alpha_{1}>cos{\;}\alpha_{2}, es decir, se conserva la monotonía del coseno si \alpha_{2}=90^{\circ}.
Compatibilidad con la igualdad de los ángulos de senos iguales o cosenos iguales
La compatibilidad de las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0 con la propiedad según la cual los ángulos con senos o cosenos iguales son iguales, significa que las proposiciones siguientes debieran ser verdaderas, pues dos ángulos son iguales si y solo si sus amplitudes son iguales.
Proposición 1.
Si \alpha_{1} y \alpha_{2} son las amplitudes de dos ángulos tales que 0^{\circ}\le\alpha_{1}\le90^{\circ}, 0^{\circ}\le\alpha_{2}\le90^{\circ} y se cumple sen{\;}\alpha_{1}=sen{\;}\alpha_{2}=1, entonces \alpha_{1}=\alpha_{2}=90^{\circ}.Proposición 2.
Si \alpha_{1} y \alpha_{2} son las amplitudes de dos ángulos tales que 0^{\circ}\le\alpha_{1}\le90^{\circ}, 0^{\circ}\le\alpha_{2}\le90^{\circ} y se cumple cos{\;}\alpha_{1}=cos{\;}\alpha_{2}=0, entonces \alpha_{1}=\alpha_{2}=90^{\circ}.Demostremos que ambas proposiciones son verdaderas.
Demostración de la proposición 1
La tesis de la proposición tiene dos partes. La primera afirma que \alpha_{1}=\alpha_{2} y la segunda, que ambos amplitudes son iguales a 90 grados.
La demostración de la primera parte de la tesis la realizamos por vía indirecta, es decir, suponiendo que \alpha_{1}\ne\alpha_{2}.
Si \alpha_{1}\ne\alpha_{2}, entonces \alpha_{1}<\alpha_{2} o \alpha_{1}>\alpha_{2}.
En el primer caso, es decir, si \alpha_{1}<\alpha_{2}, resulta sen{\;}\alpha_{1}<sen{\;}\alpha_{2}, según la propiedad de monotonía del seno. Esto contradice la premisa sen{\;}\alpha_{1}=sen{\;}\alpha_{2}.
En el caso \alpha_{1}>\alpha_{2} se obtiene también una contradicción con la misma premisa.
En consecuencia, la suposición \alpha_{1}\ne\alpha_{2} es falsa y por tanto se cumple \alpha_{1}=\alpha_{2}.
La demostración de la segunda parte de la tesis también se realiza por la vía indirecta.
Soponemos que \alpha_{1}\ne90^{\circ} y en consecuencia 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}. Entonces, según la monotonía del seno resulta sen{\;}\alpha_{1}<sen{\;}90^{\circ}.
Como sen{\;}90^{\circ}=1, entonces la desigualdad anterior se transforma en sen{\;}\alpha_{1}<1 que contradice la premisa sen{\;}\alpha_{1}=1.
Esto significa que la suposición \alpha_{1}\ne90^{\circ} es falsa y por eso \alpha_{1}=90^{\circ}. Como \alpha_{1}=\alpha_{2}, entonces también \alpha_{2}=90^{\circ}.
Así queda demostrada la proposición 1.
Demostración de la proposición 2
La tesis de la proposición 2 es la misma que la tesis de la proposición 1.
En este caso también utilizamos la vía indirecta para demostrar las dos partes de la tesis.
Suponemos que \alpha_{1}\ne\alpha_{2}. Entonces \alpha_{1}<\alpha_{2} o \alpha_{1}>\alpha_{2}.
Si \alpha_{1}<\alpha_{2}, resulta cos{\;}\alpha_{1}>cos{\;}\alpha_{2}, según la propiedad de monotonía del coseno. Esta desigualdad contradice la premisa cos{\;}\alpha_{1}=cos{\;}\alpha_{2}.
Si \alpha_{1}>\alpha_{2}, resulta cos{\;}\alpha_{1}<cos{\;}\alpha_{2}, según la propiedad de monotonía del coseno y de igual forma se obtiene una contradicción con la premisa cos{\;}\alpha_{1}=cos{\;}\alpha_{2}.
En consecuencia, la suposición \alpha_{1}\ne\alpha_{2} es falsa y entonces se cumple \alpha_{1}=\alpha_{2}.
Para demostrar la segunda parte de la tesis, suponemos que \alpha_{1}\ne90^{\circ} y por tanto se cumple 0^{\circ}\le\alpha_{1}<90^{\circ}. Entonces, según la monotonía del coseno resulta cos{\;}\alpha_{1}>cos{\;}90^{\circ}, es decir, cos{\;}\alpha_{1}>0, pues cos{\;}90^{\circ}=0.
La desigualdad cos{\;}\alpha_{1}>0 contradice la premisa cos{\;}\alpha_{1}=0 y en consecuencia la suposición \alpha_{1}\ne90^{\circ} es falsa siendo verdadera la igualdad \alpha_{1}=90^{\circ}. Como \alpha_{1}=\alpha_{2}, entonces \alpha_{2}=90^{\circ}.
Así queda demostrada la proposición 2.
Compatibilidad con los posibles valores del seno y coseno
El seno o coseno de todo ángulo agudo es un número real del intervalo abierto ]0,1[, el seno de 0^{\circ} es 0 y el coseno de 0^{\circ} es 1.
En consecuencia, el seno de cualquier ángulo cuya amplitud es mayor o igual que 0^{\circ} y menor que 90^{\circ} es un número real del intervalo [0,1[, mientras el coseno es un número del intervalo ]0,1].
Al definir el seno de 90 grados como 1 y el coseno como 0, no se genera una contradicción con la propiedad anterior, solo se agrega el 1 como posible valor del seno y 0 como posible valor del coseno.
Por eso, las reglas utilizadas para definir el seno y coseno de 90 grados son compatibles con la propiedad sobre los posibles valores del seno y coseno.
Compatibilidad con las fórmulas del seno de una suma y coseno de una suma
Antes de conocer las definiciones del seno y coseno de 90 grados sabías que si \alpha y \beta son las amplitudes de dos ángulos agudos o nulos, es decir, si las amplitudes \alpha y \beta satisfacen las desigualdades 0^{\circ}\le\alpha<90^{\circ} y 0^{\circ}\le\beta<90^{\circ}, entonces son válidas las fórmulas siguientes sobre el seno o coseno de una suma:
sen{\;}(\alpha+\beta)=sen{\;}\alpha{\;}{\;}cos{\;}\beta+cos{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta\\[4pt] cos{\;}(\alpha+\beta)=cos{\;}\alpha{\;}{\;}cos{\;}\beta-sen{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta\\[4pt]Ahora corresponde investigar si las fórmulas anteriores mantienen su validez cuando los ángulos cuyas amplitudes son \alpha, \beta o \alpha+\beta son rectos.
Como solo disponemos de las definiciones del seno y coseno para ángulos nulos, agudos o rectos, no podemos analizar el caso en que la suma \alpha+\beta es mayor que 90^{\circ}.
Por esta razón, solo podemos analizar el caso en que la suma \alpha+\beta es igual a 90^{\circ}, lo cual puede ocurrir cuando un sumando es 90^{\circ} y el otro 0^{\circ} o cuando ambos son menores que 90^{\circ}.
Si \alpha+\beta=90^{\circ}, entonces \beta=90^{\circ}-\alpha.
Analicemos la validez de las dos fórmulas para este caso mediante el cálculo del valor de sus dos miembros y la comparación de los resultados.
Investigación del seno de la suma
Comenzamos con el miembro izquierdo.
sen{\;}(\alpha+\beta)=sen{\;}90^{\circ}=1, según la definición de seno de cualquier ángulo recto.
Ahora caculamos el valor del miembro derecho.
sen{\;}\alpha{\;}{\;}cos{\;}\beta+cos{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta=sen{\;}\alpha{\;}cos{\;}(90^{\circ}-\alpha)+cos{\;}\alpha{\;}sen{\;}(90^{\circ}-\alpha).
Como cos{\;}(90^{\circ}-\alpha)=sen{\;}\alpha y sen{\;}(90^{\circ}-\alpha)=cos{\;}\alpha, entonces al sustituir en la igualdad anterior resulta:
sen{\;}\alpha{\;}{\;}cos{\;}\beta+cos{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta=sen{\;}\alpha{\;}{\;}sen{\;}\alpha+cos{\;}\alpha{\;}cos{\;}\alpha=sen^{2}\alpha+cos^{2}\alpha=1.Como ambos miembros de la fórmula del seno de la suma son iguales a 1, esta se satisface cuando \alpha+\beta=90^{\circ}.
Investigación del coseno de la suma
Calculamos el valor del miembro izquierdo.
cos{\;}(\alpha+\beta)=cos{\;}90^{\circ}=0, según la definición de coseno de cualquier ángulo recto.
Ahora calculamos el valor del miembro derecho.
cos{\;}\alpha{\;}cos{\;}\beta-sen{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta=cos{\;}\alpha{\;}cos{\;}(90^{\circ}-\alpha)-sen{\;}\alpha{\;}sen{\;}(90^{\circ}-\alpha).Como cos{\;}(90^{\circ}-\alpha)=sen{\;}\alpha y sen{\;}(90^{\circ}-\alpha)=cos{\;}\alpha, entonces al sustituir en la igualdad anterior obtenemos:
cos{\;}\alpha{\;}cos{\;}\beta-sen{\;}\alpha{\;}sen{\;}\beta=cos{\;}\alpha{\;}{\;}sen{\;}\alpha-sen{\;}\alpha{\;}cos{\;}\alpha=0.Como ambos miembros de la fórmula del coseno de la suma son iguales a 0, esta se satisface cuando \alpha+\beta=90^{\circ}.
De esta manera queda probado que las fórmulas del seno o coseno de una suma son válidas cuando la suma es 90^{\circ}, es decir, que las definiciones del seno y coseno de 90^{\circ} son compatibles con estas fórmulas.
Conclusiones ↑
Al establecer las reglas para definir el seno de 90 grados y coseno de 90 grados se ha completado la definición del seno y coseno de los ángulos cuya amplitud es mayor o igual que 0^{\circ} y menor o igual que 90^{\circ} en los tres casos siguientes:
• Ángulo agudo (de amplitud mayor que 0^{\circ} y menor que 90^{\circ}).
• Ángulo nulo (de amplitud 0^{\circ}).
• Ángulo recto (de amplitud 90^{\circ}).
En la Tabla 1 se resumen las reglas utilizadas en las definiciones.
| Tabla 1: Definiciones del seno y coseno de ángulos agudos, nulos o rectos. | |||
|---|---|---|---|
| Tipo de ángulo | Amplitud \alpha | Seno | Coseno |
| Agudo | 0^{\circ}<\alpha<90^{\circ} | Razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que el ángulo de amplitud \alpha es interior. | Razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa de un triángulo rectángulo en que el ángulo de amplitud \alpha es interior. |
| Nulo | \alpha=0^{\circ} | 0 | 1 |
| Recto | \alpha=90^{\circ} | 1 | 0 |
Con la lectura de este ecrito también aprendiste que las reglas sen{\;}90^{\circ}=1 y cos{\;}90^{\circ}=0, utilizadas para definir el seno y coseno de cualquier ángulo recto, son compatibles con las propiedades esenciales del seno y coseno de ángulos agudos y ángulos nulos.
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