Si deseas saber cuál es el seno de 0 grados y por qué o cuál es el valor de coseno de 0 grados y por qué, te invito a que leas este escrito.
Las respuestas a estas preguntas sin la explicación es muy sencilla, pues el seno de 0 grados es 0 y el coseno de 0 grados es 1.
Memorizar estos valores sin el apoyo de una explicación es un esfuerzo infructuoso, pues está demostrado por la psicología que la memorización sin comprensión conduce al olvido.
Las preguntas anteriores están relacionadas estrechamente con otras dos, referidas a cuál es el seno de 0 y qué valor tiene el coseno de 0. No se trata de las mismas preguntas porque 0 y 0 grados son objetos diferentes: 0 es un número, mientras 0 grados es la amplitud de un ángulo.
En este escrito aprenderás cuál es el seno de 0 grados y de 0 y porqué. También conocerás cuál es el coseno de 0 grados y de 0 y porqué.
La lectura del artículo requiere que conozcas las definiciones de seno y coseno de un ángulo agudo y las propiedades fundamentales de estas razones trigonométricas.
¿Qué ángulos miden 0 grados? ↑
Se le llama nulo a todo ángulo cuyos lados coinciden (Fig. 1).
Como los lados de todo ángulo nulo coinciden, un ángulo nulo es una semirrecta abierta. Por esta razón, todos los ángulos nulos son iguales.
La frase “0 grados” designa la amplitud de cualquier ángulo nulo y se simboliza por 0^{\circ}.
La necesidad de definir seno de 0 grados y coseno de 0 grados ↑
La frase “seno de 0 grados” se refiere al seno de cualquier ángulo nulo, mientras que “coseno de 0 grados” designa el coseno de cualquier ángulo de este tipo.
Por esta razón, la determinación del seno y coseno de 0 grados conduce a la determinación del seno y coseno de un ángulo nulo.
El seno y coseno de un ángulo agudo (p,q) se definen utilizando un triángulo rectángulo en que (p,q) es uno de sus ángulos interiores.
El seno es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa, mientras el coseno es la razón entre el cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa. Por ejemplo, si ABC es un triángulo rectángulo en A (Fig. 2), entonces:
sen{\;}\angle{AOB}=\frac{\overline{AB}}{\overline{OB}} y cos{\;}\angle{AOB}=\frac{\overline{OA}}{\overline{OB}}
No podemos aplicar la definición de seno de un ángulo agudo a la determinación del seno de un ángulo nulo porque no existen triángulos con ángulos interiores nulos y lo mismo ocurre si intentamos aplicar la definición de coseno de un ángulo agudo al cálculo del coseno de un ángulo nulo.
Esto nos indica que debemos elaborar una definición para el seno de 0 grados y coseno de 0 grados, es decir, una definición para determinar el seno y coseno de cualquier ángulo nulo.
¿Cómo definir el seno de 0 grados y el coseno de 0 grados? ↑
En la elaboración de la definición de seno y coseno de un ángulo nulo se tienen en cuenta varias propiedades del seno y coseno de un ángulo agudo, entre ellas las siguientes:
- El seno y coseno de todo ángulo agudo es un número real mayor que cero y menor que 1.
- Si \alpha y \beta son amplitudes de ángulos agudos y \alpha<\beta, entonces sen{\;}\alpha<sen{\;}\beta y cos{\;}\alpha>cos{\;}\beta, es decir, si dos ángulos agudos tienen diferentes amplitudes, el de menor amplitud tiene menor seno y mayor coseno.
Para definir el seno y coseno de un ángulo con amplitud de cero grados reducimos la amplitud de un ángulo agudo aproximándola a 0^{\circ} ¿Qué ocurre si lo hacemos?
Como al disminuir la amplitud de un ángulo agudo, el seno disminuye y el coseno aumenta, podemos conjeturar que el seno se aproxima a 0 y el coseno se aproxima a 1, pues estas razones toman valores del intervalo ]0,1[.
Para desarrollar esta idea podemos aplicar el método de dividir a la mitad el ángulo, es decir, elegimos un primer ángulo agudo cuyo seno y coseno conozcamos, construimos su bisectriz para obtener dos ángulos iguales cuya amplitud es la mitad de la amplitud del ángulo inicial y después calculamos el seno y coseno de los ángulos obtenidos.
Acto seguido aplicamos el mismo procedimiento a los ángulos resultantes en el paso anterior y así sucesivamente.
La aplicación de este procedimiento requiere disponer de fórmulas para el seno y coseno de la mitad de un ángulo que trato a continuación.
Seno y coseno del ángulo mitad
Para obtener el seno y coseno de un ángulo mitad utilizamos dos de las fórmulas del coseno de un ángulo doble.
En efecto, se cumple que si \alpha es la amplitud de un ángulo agudo, entonces cos{\;}2\alpha=2{\,}cos^{2}\alpha-1 y cos{\;}2\alpha=1-2{\,}sen^{2}\alpha.
Seno del ángulo mitad
La segunda fórmula, cos{\;}2\alpha=1-2{\,}sen^{2}\alpha relaciona el coseno y el seno de dos ángulos de amplitudes 2\alpha y \alpha, respectivamente. En este caso el ángulo de amplitud \alpha se llama ángulo mitad del ángulo de amplitud 2\alpha.
Como deseamos obtener el seno del ángulo mitad, despejamos sen{\;}\alpha en la fórmula cos{\;}2\alpha=1-2{\,}sen^{2}\alpha.
Si restamos 1 en ambos miembros e invertimos los miembros de la igualdad resultante, obtenemos -2{\,}sen^{2}\alpha=cos{\,}2\alpha-1.
Ahora multiplicamos por -\frac{1}{2} ambos miembros de esta igualdad y resulta sen^{2}\alpha=\frac{1}{2}{\,}(1-cos{\,}2\alpha).
Si extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad anterior y tenemos en cuenta que el seno de un ángulo agudo es positivo, obtenemos:
sen{\,}\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1-cos{\,}2\alpha}.Esta es la fórmula para el seno del ángulo de amplitud \alpha en función del coseno del ángulo de amplitud 2\alpha.
Coseno del ángulo mitad
Para obtener una fórmula del coseno de un ángulo mitad despejamos cos{\,}\alpha en la fórmula cos{\,}2\alpha=2{\,}cos^{2}\alpha-1.
Si sumamos 1 en ambos miembros e invertimos los miembros de la igualdad resultante, obtenemos 2{\,}cos^{2}\alpha=1+cos{\,}2\alpha.
Ahora multiplicamos ambos miembros por \frac{1}{2} y resulta la igualdad cos^{2}\alpha=\frac{1}{2}{\,}(1+cos{\,}2\alpha).
Si tenemos en cuenta que el coseno de un ángulo agudo es positivo y extraemos raíz cuadrada en ambos miembros de la igualdad anterior, obtenemos:
cos{\,}\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1+cos{\,}2\alpha}.Esta es la fórmula para el coseno del ángulo de amplitud \alpha en función del coseno del ángulo de amplitud 2\alpha.
Seno y coseno de ángulos de amplitud próxima a 0 grados
Como ya disponemos de fórmulas para el seno y coseno del ángulo mitad, ahora aplicamos el procedimiento de dividir a la mitad un ángulo agudo cuyo seno y coseno conozcamos. Vamos a utilizar un ángulo de 30^{\circ} porque sabemos que sen{\,}30^{\circ}=\frac{1}{2} y cos{\,}30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}.
Podríamos utilizar un ángulo de 60^{\circ} o 45^{\circ}, pero el trabajo con un ángulo de 60^{\circ} conduce al de 30^{\circ} y el cálculo con ángulos de 45^{\circ} es más laborioso.
El procedimiento de división sucesiva a la mitad y cálculo del seno y coseno de los ángulos resultantes, lo podemos describir utilizando el concepto de sucesión en la forma siguiente:
- Construimos una sucesión de ángulos agudos a partir de un ángulo agudo cuyo seno y coseno conozcamos, por ejemplo, un ángulo de 30^{\circ}. Cada término de la sucesión a partir del primero lo obtenemos dividiendo a la mitad cada ángulo mediante su bisectriz.
- Determinamos la sucesión de los senos de los ángulos obtenidos en el paso anterior.
- Calculamos los términos de la sucesión de los cosenos de los ángulos obtenidos en el primer paso.
La sucesión de ángulos
Como podemos calcular las amplitudes de los ángulos numéricamente, no es necesario realizar las construcciones geométricas.
El primer ángulo tiene una amplitud de 30^{\circ} que denotamos con \alpha_{1}.
La amplitud del segundo ángulo la denotamos con \alpha_{2}, y por tanto \alpha_{2}=\frac{\alpha_{1}}{2}=15^{\circ}.
El tercer ángulo tiene la amplitud \alpha_{3}=\frac{\alpha_{2}}{2}=\frac{\frac{\alpha_{1}}{2}}{2}=\frac{\alpha_{1}}{2^{2}}=\frac{30^{\circ}}{4}=7,5^{\circ}.
En general, la amplitud del n-ésimo ángulo es \alpha_{n}=\frac{\alpha_{1}}{2^{n-1}}=\frac{30^{\circ}}{2^{n-1}}.
También se cumple que \alpha_{n}=\frac{\alpha_{n-1}}{2}, es decir, la amplitud del n-ésimo ángulo es la mitad de la amplitud del (n-1)-ésimo ángulo. Por ejemplo, la amplitud del segundo es la mitad de la amplitud del primero y la amplitud del tercero es la mitad de la amplitud del segundo.
Esto nos permite utilizar las fórmulas del seno o coseno del ángulo mitad en el cálculo.
Las sucesiones de senos y cosenos
Es conveniente que representemos el seno y coseno mediante expresiones decimales para que sea fácil la comparación con 0 y 1; utilizamos 6 cifras decimales para cuando obtengamos valores cercanos a 0 o próximos a 1.
El primer término de la sucesión de los senos es sen{\,}30^{\circ}=\frac{1}{2}=0,5.
La sucesión de los cosenos tiene como primer término cos{\,}30^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx\frac{1,7320508}{2}\approx0,866025.
El segundo término de la sucesión de los senos se calcula utilizando la fórmula del seno del ángulo mitad.
sen{\,}15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1-cos{\,}30^{\circ}}\approx\frac{1,4142135}{2}{\,}\sqrt{1-0,866025}\approx0,258819.El segundo término de la sucesión de los cosenos se calcula utilizando la fórmula del coseno del ángulo mitad.
cos{\,}15^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1+cos{\,}30^{\circ}}\approx\frac{1,4142135}{2}{\,}\sqrt{1+0,866025}\approx0,965925.El tercer término de la sucesión de los senos también se calcula con el uso de la fórmula del seno del ángulo mitad, pues ya conocemos el coseno de 15^{\circ}.
sen{\,}7,5^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1-cos{\,}15^{\circ}}\approx\frac{1,4142135}{2}{\,}\sqrt{1-0,965925}\approx0,130527.Para el cálculo del coseno de 7,5^{\circ} también utilizamos la fórmula del coseno del ángulo mitad.
cos{\,}7,5^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}{\,}\sqrt{1-cos{\,}30^{\circ}}\approx\frac{1,4142135}{2}{\,}\sqrt{1-0,965925}\approx0,991444.La aproximación del coseno se ha tomado por defecto y en consecuencia la aproximación del seno se obtiene por exceso.
Para calcular otros términos de la sucesión de los senos y de los cosenos podemos utilizar una hoja de cálculo como Microsoft Excel.
Creamos tres columnas. En la primera, colocamos la amplitud de los ángulos, en la segunda los senos y en la tercera los cosenos (Fig. 3).
Las definiciones de seno de 0 grados y coseno de 0 grados
En la imagen se muestran 10 amplitudes de ángulos comenzando por 30^{\circ}. La décima amplitud es de 0,055859375^{\circ} que es un valor próximo a 0^{\circ}.
Por otra parte, observamos que el seno de los ángulos va disminuyendo acercándose a 0 a medida que la amplitud disminuye. Por ejemplo, los ángulos de amplitud 0,055859375^{\circ} tienen un seno aproximado de 0,001023 que es un valor muy cercano a cero.
En cuanto al coseno, apreciamos que este aumenta a medida que la amplirtud de los ángulos disminuye. Por ejemplo, los ángulos de amplitud 0,055859375^{\circ} tienen un coseno aproximado de 0,999999 que es un valor muy próximo a 1.
En vista del comportamiento anterior del seno y coseno de ángulos agudos se justifica la conveniencia de definir el seno de 0 grados como 0 y el coseno de 0 grados como 1, es decir, establecer las definiciones siguientes:
sen{\,}0^{\circ}=0\\[5pt] cos{\,}0^{\circ}=1\\[5pt]Si estás entre las personas que buscan una explicación de por qué el seno de 0^{\circ} es 0 o por qué el coseno de 0^{\circ} es 1, en el análisis de la tabla tienes las respuestas.
Según estas definiciones el seno y el coseno de un ángulo no siempre son razones entre segmentos. En el caso de ángulos nulos, resultan al realizar aproximaciones de razones entre segmentos.
Propiedades del seno y coseno de ángulos cuya amplitud es menor que 90^{\circ} ↑
Una vez definido el seno y coseno de 0 grados, nos interesamos por investigar qué propiedades tiene el seno y coseno de ángulos con una amplitud menor que 90^{\circ}, es decir, agudos o nulos.
Por ejemplo, si analizamos la propiedad según la cual la suma del cuadrado del seno y del coseno de un ángulo agudo es 1, verificamos que esta se cumple también para ángulos cuya amplitud es de 0^{\circ}, pues 0^{2}+1^{1}=1.
Las propiedades que involucran valores del seno y coseno de un ángulo requieren de reformulación, si deseamos que estas incluyan a los ángulos nulos.
Por ejemplo, la propiedad referida a que el seno y el coseno de todo ángulo agudo es un número mayor que 0 y menor que 1 debe reformularse en una forma como la siguiente:
Si (p,q) es un ángulo de amplitud \alpha y 0^{\circ}\le\alpha<90^{\circ}, entonces 0{\le}{sen}{\,}\angle(p,q)<1 y 0<cos{\,}\angle(p,q){\le}1.Por otra parte, la propiedad según la cual para todo número real k existen ángulos agudos (p,q) y (r,s) tales que sen{\,}\angle(p,q)=k y cos{\,}(r,s)=k, debe ser reformulada en una forma como la siguiente:
Para todo número real k, con 0{\le}k{\le}1, existen ángulos (p,q) y (r,s) tales que sen{\,}\angle(p,q)=k y cos{\,}(r,s)=k.La propiedad según la cual si dos ángulos tienen diferentes amplitudes, el de menor amplitud tiene menor seno y mayor coseno mantiene su validez para ángulos cuya amplitud es menor que 90^{\circ}.
Determinación del seno de 0 y coseno de 0 ↑
Ya conoces por qué seno de 0^{\circ} es 0 y coseno de 0^{\circ} es 1. Esta sección está dedicada a responder las preguntas referidas a cuál es el seno de 0 y cuál el coseno de 0.
Conoces que 0 y 0^{\circ} son dos objetos diferentes: el primero es un número; el segundo la amplitud de un ángulo.
El seno y coseno son números reales que en un primer momento se asignan a ángulos y en un segundo momento a amplitudes de ángulos, utilizando la propiedad según la cual los ángulos iguales tienen senos iguales y cosenos iguales.
La determinación del seno de 0 y coseno de 0 corresponde a un tercer momento del estudio del seno y coseno en que estas razones se le asignan a números reales.
Surgen dos preguntas al respecto:
- ¿A qué números reales se le pueden asignar el seno o coseno de un ángulo?
- ¿Cómo asignar a un número real el seno de un ángulo y el coseno de un ángulo?
Las respuestas a estas preguntas exigen conocimientos de la medición de la amplitud de ángulos en grados y radianes.
Medición de la amplitud de un ángulo
Conoces que la longitud de un segmento es una propiedad que expresa la proximidad o alejamiento de sus extremos, es decir, una propiedad que indica el grado de separación de los extremos del segmento.
Para medir la longitud de un segmento \overline{AB} se utiliza la longitud de otro segmento \overline{UV}, llamado segmento unidad.
La realización de la medición consiste en determinar la razón \frac{\overline{AB}}{\overline{UV}}=k, es decir, determinar el número real positivo k tal que \overline{AB}=k{\,}\overline{UV}, el cual se llama medida de la longitud de \overline{AB} respecto a la longitud de \overline{UV} .
Cuando k es un número entero, este indica las veces que está contenido el segmento \overline{UV} en \overline{AB}.
No existe ningún segmento con propiedades especiales para que sea considerado el segmento unidad idóneo y por esta razón se puede utilizar cualquiera, aunque a nivel internacional existe consenso en el uso de segmentos de un metro de longitud o cuya longitud sea un múltiplo o submúltiplo del metro.
En el caso de los ángulos, existe una propiedad análoga a la longitud para expresar el grado de separación de los lados a la cual se le llama amplitud.
Para medir la amplitud de un ángulo (p,q) se utiliza la amplitud de otro ángulo (u,v), llamado ángulo unidad. La realización de la medición consiste en determinar el número real no negativo k tal que \measuredangle(p,q)=k{\;}\measuredangle(u,v), llamado medida de la amplitud del ángulo (p,q) respecto a la amplitud de (u,v).
En el caso de la amplitud sí existen ángulos con propiedades especiales que resultan idóneos como ángulos unidad. Los más utilizados son los ángulos que tienen como amplitud un grado sexagesimal o los que tienen un radián de amplitud.
Medición de un ángulo en grados sexagesimales
El grado sexagesimal se obtiene al considerar la amplitud de un ángulo recto, es decir, de un ángulo que es igual a sus ángulos adyacentes.
Si dividimos un ángulo recto en 90 ángulos iguales, la amplitud de cada uno de estos es de un grado sexagesimal (1^{\circ}) y en consecuencia la amplitud de todo ángulo recto es de 90^{\circ}.
Medir la amplitud de un ángulo (p,q) en grados sexagesimales es determinar el número real no negativo k tal que \measuredangle(p,q)=k\cdot1^{\circ}=k^{\circ}. Cuando k es un número entero este expresa el número de veces que un ángulo de un grado está contenido en el ángulo (p,q).
Obviamente, la amplitud en grados de todo ángulo nulo es 0^{\circ}.
Si la amplitud de un ángulo es menor que 90^{\circ}, sus lados están menos separados que los de un ángulo recto y si es mayor que 90^{\circ}, están más separados.
Medición de un ángulo en radianes
Otro ángulo con propiedades especiales que lo hacen idóneo como ángulo unidad es un águlo central de cualquier circunferencia que intersecta un arco cuya longitud es la longitud del radio de la circunferencia (Fig. 4). La amplitud de cualquier ángulo con estas características se llama radián y se denota por 1{\,}rad.
Medir la amplitud de un ángulo (p,q) en radianes es determinar el número real no negativo k tal que \measuredangle(p,q)=k\cdot1{\,}rad=k{\,}rad. Cuando k es un número entero, este expresa las veces que un ángulo de un radián está contenido en (p,q).
Obviamente la amplitud de todo ángulo nulo es 0{\,}rad, es decir, que la medida en radianes de la amplitud de los ángulos nulos es 0.
Seno y coseno de un número real
En este epígrafe ofrezco respuesta a las dos preguntas referidas a la asignación del seno o coseno de un ángulo a un número real.
Respecto a qué números reales se le pueden asignar el seno o coseno de un ángulo, la respuesta es que a cualquier número real, es decir, no hay excepción.
¿Cómo se le puede asignar el seno o coseno de un ángulo a un número real?
Para asignar a un número real x el seno o coseno de un ángulo, aplicamos el procedimiento siguiente:
- Determinamos un ángulo (p,q) que tenga x radianes de amplitud.
- Calculamos el seno o coseno del ángulo (p,q).
- Asignamos al número x, el seno o coseno del ángulo (p,q).
Este procedimiento involucra dos definiciones y requiere de dos notaciones nuevas.
La primera notación se refiere al seno del número real x y la segunda al coseno de x. Utilizaremos, respectivamente, los símbolos sen{\;}x y cos{\,}x.
Las definiciones son las siguientes:
Si x{\in}\mathbb{R},{\:}sen{\,}x=sen(x{\,}rad)
Si x{\in}\mathbb{R},{\:}cos{\,}x=cos(x{\,}rad)
En las igualdades anteriores, el miembro izquierdo es el seno o coseno de un número real y el miembro derecho, el seno o coseno de un ángulo.
En resumen, el seno de un número real x se define como el seno del ángulo cuya amplitud en radianes es x, mientras el coseno se define como el coseno del ángulo cuya amplitud en radianes es x.
Seno de 0 y coseno de 0
Ahora podemos aplicar las definiciones de seno y coseno de un número real a la determinación de seno de 0 y coseno de 0.
Como 0 es la medida en radianes de cualquier ángulo nulo, es decir, de todo ángulo cuya amplitud en grados es 0^{\circ}, entonces:
sen{\,}0=sen{\,}(0{\,}rad)=sen{\,}0^{\circ}=0 y cos{\,}0=cos{\,}(0{\,}rad)=cos{\,}0^{\circ}=1.En síntesis, sen{\,}0=0 y cos{\,}0=1.
Conclusiones ↑
Las definiciones del seno y coseno de un ángulo agudo no se pueden aplicar a la determinación del seno de 0 grados y coseno de 0 grados; hay que elaborar nuevas definiciones específicas para ángulos nulos.
En vista de que el seno de un ángulo agudo se aproxima a 0 y el coseno se aproxima a 1, a medida que la amplitud del ángulo se aproxima a 0^{\circ}, es conveniente definir el seno y el coseno de 0 grados como 0 y 1, respectivamente.
Estas definiciones son compatibles con las propiedades fundamentales del seno y coseno de ángulos agudos. Especialmente, se conserva la unicidad del seno y coseno de un ángulo, la suma de los cuadrados del seno y coseno es 1, ángulos iguales tienen senos iguales y cosenos iguales, ángulos con senos iguales o cosenos iguales, son iguales y si dos ángulos tienen diferentes amplitudes, el de menor amplitud tiene menor seno y mayor coseno.
Las definiciones de seno y coseno de 0 grados se aplican en forma combinada con las definiciones de seno de un número real y coseno de un número real resultando las proposiciones sen{\,}0=0 y cos{\,}0=1 que son muy importantes en la trigonometría.
Deja un comentario