He observado que muchas personas están interesadas en saber qué es un semiplano en geometría. Si eres una de ellas, te invito a que leas este escrito porque en él he respondido la pregunta con amplitud y otras referidas al tema de los semiplanos.
El escrito contiene la definición de semiplano en geometría con ejemplos ilustrativos, las operaciones de intersección y unión de dos semiplanos y otros aspectos de interés que se muestran en la tabla de contenidos.
En geometría existen dos conceptos de semiplano: semiplano abierto y semiplano cerrado. También existe el concepto de bandera que está en el medio camino entre estos dos.
El concepto de semiplano abierto es el más importante porque se utiliza para definir los dos restantes y por eso lo trato primeramente.
Espero que el artículo sea útil a estudiantes y profesores y especialmente a los estudiantes universitarios que se forman como maestros o profesores de Matemática.
¿Qué es un semiplano abierto? ↑
Esta sección está dedicada a la definición del concepto de semiplano abierto, a la notación y nombre de sus objetos y a presentar ejemplos de semiplanos abiertos.
Definición genética de semiplano abierto
Imaginamos un plano como una gran hoja, sin huecos, sin principio ni fin, formado por puntos y lo representamos en parte de una superficie material como la hoja del cuaderno, la pantalla del tablet, laptop o pc, aunque estos espacios son limitados.
Denotamos los planos mediante letras griegas minúsculas tales como \alpha, \beta o \gamma y los nombramos utilizando frases al estilo de «plano \alpha» o «plano \beta».
¿Qué es un semiplano abierto?
Si nos guiamos por el nombre, un semiplano debiera ser la mitad de un plano, pero hablar de la mitad de un plano en geometría es inexacto.
Si trazamos una recta r en un plano \alpha, observamos que este queda dividido en dos partes a las cuales se les llama semiplanos abiertos de borde r del plano \alpha.
La frase «del plano \alpha» es importante porque si tomamos como referencia el espacio tridimensional, existen infinitos planos que contienen la recta r y en consecuencia existen infinitos semiplanos de borde r. Por eso en lo adelante se considera un único plano.
Hemos utilizado una definición genética para introducir el concepto de semiplano abierto porque se ha descrito cómo se originan los semiplanos abiertos mediante una construcción.
Su principal desventaja consiste en no explicitar las propiedades esenciales que debe satisfacer una figura geométrica para que sea un semiplano abierto de modo que podamos identificarla entre otras figuras.
Más adelante resuelvo esta limitación mediante la formulación de una definición explícita.
Notación y nombre de los semiplanos abiertos
Ya sabes que una recta no determina de manera única un semiplano abierto en un plano, sino dos. Para lograr la unicidad se necesita un punto del semiplano, además de la recta que sirve de borde.
En tal caso el semiplano se denota utilizando su borde y uno de sus puntos. Por ejemplo, un semiplano abierto que tiene como borde la recta r y que contiene el punto P, se denota por rP y se nombra anteponiendo la palabra semiplano a este símbolo, al estilo de «semiplano rP».
También el semiplano de borde r que contiene el punto P se puede denotar mediante el símbolo rP^{+} y nombrar como «semiplano rP^{+}».
Esta notación es útil porque entonces el semiplano de borde r que no contiene el punto P se denota por rP^{-}, se nombra como «semiplano rP^{-}» y es considerado el semiplano opuesto de rP^{+}.
Como las rectas también se denotan utilizando dos de sus puntos, un semiplano abierto se puede denotar mediante tres letras al estilo de PQR, donde su borde es la recta PQ y R es uno de sus puntos.
Cuando se utilizan tres puntos, también se puede emplear el signo de más o de menos al estilo de «semiplano PQR^{+}» o «semiplano PQR^{-}».
También los semiplanos abiertos, cuando no se requiere precisión, se pueden denotar y nombrar utilizando una letra latina mayúscula al estilo «de semiplano S» o mediante una letra latina mayúsculas con un subíndice al estilo de «semiplano S_{1}» o «semiplano S_{2}».
Definición explícita de semiplano abierto
Si te preguntara en este momento qué es un semiplano abierto, podrías responder que es una de las dos partes del plano resultantes al trazar una recta, pero quizás tendrías limitaciones en argumentar por qué una figura geométrica determinada es un semiplano abierto o por qué no lo es.
Determinemos las propiedades esenciales del concepto de semiplano abierto y utilicémolas para definirlo explícitamente.
Primera propiedad
Al trazar una recta r en un plano \alpha, el plano queda dividido en dos semiplanos abiertos de borde r que podemos denotar por S_{1} y S_{2}.
Observamos que la recta r no tiene puntos comunes con ninguno de los dos semiplanos abiertos S_{1} y S_{2}.
Esta propiedad la podemos expresar utilizando la intersección de conjuntos, puesto que r, S_{1} y S_{2} son conjuntos de puntos.
La intersección de conjuntos se simboliza con el signo \cap y el conjunto que no tiene elementos (conjunto vacío) se simboliza con el signo \emptyset.
Entonces podemos representar esta primera propiedad de los semiplanos abiertos del mismo borde por S_{1}\cap{r}= \emptyset y S_{2}\cap{r}=\emptyset.
Esta propiedad garantiza que los semiplanos sean abiertos porque los puntos del borde no les pertenecen.
Segunda propiedad
Una segunda propiedad de los semiplanos abiertos del mismo borde es que no tienen puntos comunes.
Si expresamos esta propiedad utilizando la intersección de conjuntos y las notaciones introducidas, resulta S_{1}\cap{S_{2}}=\emptyset.
Tercera propiedad
La tercera propiedad de dos semiplanos abiertos del mismo borde está implícita en la proposición según la cual toda recta de un plano divide a este en dos semiplanos, pues al unir los dos semiplanos y la recta se obtiene el propio plano.
Para expresar esta propiedad podemos valernos de la unión de conjuntos que se representa con el signo \cup. Entonces la propiedad se expresa como {(S_{1}\cup{S_{2}})\cup{r}=\alpha}.
Esta propiedad nos indica que de haber definido un semiplano abierto como la mitad de un plano, hubiera cometido un error porque al trazar una recta en un plano, se generan tres conjuntos: la propia recta y los dos semiplanos abiertos.
Cuarta propiedad
Una cuarta propiedad de cada par de semiplanos abiertos del mismo borde de un plano, resulta al considerar el segmento cerrado que une un punto cualquiera de un semiplano con un punto cualquiera del semiplano opuesto.
Recuerda que el segmento cerrado que une dos puntos P y Q de un plano es el conjunto formado por todos los puntos de la recta PQ, situados entre P y Q agregando los puntos P y Q. Se denota por \overline{PQ} o \overline{QP}.
Este segmento corta al borde de los dos semiplanos en un punto que está situado entre los extremos del segmento.
Como el segmento cerrado que une dos puntos diferentes P y Q se denota por \overline{PQ}, la cuarta propiedad de los semiplanos abiertos la podemos expresar utilizando la intersección de conjuntos en la forma siguiente:
Si P\in{S_{1}} y Q\in{S_{2}}, entonces \overline{PQ}\cap{r}=\left\{ O\right\}, donde O está situado entre P y Q.
Quinta propiedad
La quinta propiedad de los semiplanos abiertos resulta al considerar la intersección del borde de los semiplanos con el segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de un mismo semiplano.
Este segmento no corta el borde de los semiplanos.
Podemos expresar esta propiedad mediante la intersección de conjuntos en la forma siguiente:
Si P\in{S_{1}} y Q\in{S_{2}}, entonces \overline{PQ}\cap{r}=\emptyset.
¿Qué es un semiplano abierto?
Ahora podemos definir el concepto de semiplano abierto explícitamente.
Un conjunto S_{1} de puntos, no vacío, de un plano \alpha es un semiplano abierto si y solo si existe una recta r situada en \alpha y un conjunto S_{2} de puntos, no vacío, con las propiedades siguientes:
- S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes con la recta r.
- Los conjuntos S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes entre sí.
- La unión de S_{1}, S_{2} y r es el plano \alpha.
- El segmento cerrado que une un punto de S_{1} con un punto de S_{2} corta a la recta r.
- El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de S_{1} o de S_{2} no tiene puntos comunes con la recta r.
La recta r se llama borde del semiplano S_{1}.
Según la propiedad 3, S_{2} también es un subconjunto del plano \alpha al igual que S_{1}.
De la definición se deduce que si S_{1} es un semiplano abierto de un plano, entonces el conjunto S_{2} que cumple las propiedades 1, 2, 3, 4 y 5 también es un semiplano abierto del mismo plano con el mismo borde de S_{1}. Por esta razón, se dice que S_{1} y S_{2} son semiplanos opuestos y que los semiplanos abiertos existen por pares.
Según las propiedades 1 y 2, S_{1}, S_{2} y r no tienen puntos comunes entre sí y en vista de esto y la propiedad 3, el semiplano S_{2} es el complemento del conjunto S_{1}\cup{r} respecto al plano \alpha, es decir, está formado por los puntos de \alpha que no pertenecen a S_{1}\cup{r}.
¿Cómo construir un semiplano abierto?
De acuerdo con la definición, un semiplano abierto es un subconjunto de puntos no vacío del plano y por tanto una figura geométrica.
Siempre es importante que al estudiar una figura geométrica pienses en su construcción.
En el caso de los semiplanos abiertos esta tarea es muy sencilla, pues para construir un semiplano abierto basta con trazar una recta r en el plano y considerar cualquiera de los dos conjuntos en que r divide al plano, los cuales no incluyen los puntos de r.
Por esta razón, es conveniente representar la recta r mediante una línea discontinua para expresar que sus puntos no pertenecen al semiplano considerado, aunque sabemos que una recta es una línea continua.
Como en la mayoría de los libros no se representa el borde de los semiplanos abiertos mediante una línea discontinua, para determinar si un semiplano es abierto a partir de una representación gráfica debemos guiarnos por la situación o el contexto.
Ejemplos de semiplanos abiertos
En la imagen siguiente se han representado en un plano dos rectas r y s que se cortan y cuatro puntos A, B, C y D no situados en estas rectas. Cada recta genera dos semiplanos abiertos opuestos.
Los semiplanos sA y sD son opuestos porque cumplen las propiedades de la definición, mientras que los semiplanos sB y rA no son opuestos porque no cumplen todas las propiedades de la definición. Por ejemplo, no cumplen la segunda propiedad porque el punto A es común a ambos semiplanos.
No ejemplos de semiplano abierto
Observa que en la definición se expresa que un conjunto S_{1} es un semiplano abierto de un plano \alpha si existe en \alpha una recta r y un conjunto S_{2} tales que se cumplen cinco propiedades que involucran S_{1}, S_{2} y r.
Por esta razón, una figura S_{1} no es un semiplano abierto si cualquiera sea la recta r y el conjunto S_{2} que se consideren no se cumple al menos una de estas cinco propiedades. Tales figuras son los no ejemplos de semiplano abierto.
Sabemos, por ejemplo, que un triángulo no debe ser un semiplano abierto, pero probemos que no lo es aplicando la definición, es decir, demostremos que no existe una recta r y un conjunto S_{2} tales que se cumplen las cinco propiedades de la definición.
La recta r no debe tener puntos comunes con el triángulo y el conjunto S_{2} debe estar formado por todos los puntos del plano no situados en el triángulo ni en r para que se cumplan las tres primeras propiedades.
El punto D pertenece al triángulo y el punto E a S_{2}, pero el segmento \overline{DE} no corta a la recta r, es decir, no se cumple la propiedad 4 de la definición.
Por otra parte, los puntos E y F pertenecen a S_{2}, pero el segmento \overline{EF} corta a la recta r, es decir, no se cumple la propiedad 5 de la definición.
Los razonamientos anteriores son válidos para cualquier triángulo. Por tanto, ningún triángulo es un semiplano abierto.
Intersección de semiplanos abiertos
Un semiplano abierto es un conjunto de puntos y por tanto tiene sentido considerar la intersección de dos o más semiplanos abiertos. Aquí vamos a tratar la intersección de dos de ellos.
Al intersectar dos semiplanos abiertos se pueden presentar diferentes casos en dependencia de la relación de posición entre sus bordes.
Si los bordes de los semiplanos son rectas paralelas, se pueden presentar diferentes casos. Cuando los bordes de los semiplanos son rectas que se cortan se presenta un único caso.
Para comprender bien lo que ocurre, debes conocer la relación de inclusión entre conjuntos.
En matemática la relación de inclusión, también conocida como relación «es parte de» o relación «es subconjunto de», se establece entre dos conjuntos del mismo grado y en ella se utiliza el signo \subseteq.
Si el conjunto M es parte del conjunto N, se escribe M\subseteq{N}. Al conjunto M se le llama conjunto incluido y a N, conjunto incluyente.
Intersección de dos semiplanos abiertos de bordes paralelos
Conoces que dos rectas situadas en el mismo plano son paralelas cuando coinciden o si no tienen puntos comunes.
Si los bordes de dos semiplanos abiertos coinciden, estos semiplanos pueden ser opuestos o coincidentes.
Cuando dos semiplanos son opuestos su intersección es vacía, según la segunda propiedad de la definición de semiplano abierto.
En cambio, si dos semiplanos coinciden su intersección es cualquiera de los dos.
Cuando los bordes de dos semiplanos son rectas paralelas no coincidentes, para su intersección se pueden presentar los casos siguientes:
- Cada semiplano es parte del semiplano opuesto del otro.
- Uno de los semiplanos es parte del otro.
- Cada semiplano incluye el semiplano opuesto del otro.
Cuando cada semiplano es parte del semiplano opuesto del otro, su intersección es vacía, según la segunda propiedad de la definición de semiplano abierto.
Si uno de los semiplanos es parte del otro, su intersección es el semiplano incluido.
Cuando cada uno de los semiplanos incluye al semiplano opuesto del otro, la intersección de los dos semiplanos es una figura llamada franja abierta.
Intersección de dos semiplanos abiertos cuyos bordes se cortan
Cuando los bordes de dos semiplanos abiertos se cortan, la intersección de los dos semiplanos es el interior del ángulo intersección determinado por ellos.
El interior de un ángulo intersección se conoce como sector angular generado por la intersección de los dos semiplanos y no incluye los lados ni contiene el vértice del ángulo.
He dedicado un artículo al concepto de ángulo con cuya lectura puedes ampliar tus conocimientos sobre el tema.
Unión de semiplanos abiertos
También tiene sentido considerar la unión de dos semiplanos abiertos formados por puntos del mismo plano.
Esta unión genera una figura cuya forma depende de la relación de posición entre los bordes de los semiplanos de igual modo que en la intersección.
Unión de dos semiplanos abiertos de bordes paralelos
Los bordes de dos semiplanos abiertos son rectas. Cuando estas son paralelas pueden coincidir o no.
Cuando los bordes de dos semiplanos abiertos coinciden, estos semiplanos pueden ser coincidentes u opuestos.
La unión de dos semiplanos opuestos es el plano sin los puntos del borde de ambos semiplanos, pues según la segunda propiedad de la definición explícita de semiplano abierto, la unión de estos con su borde es el plano.
De igual modo que en la intersección, la unión de dos semiplanos coincidentes es cualquiera de los dos semiplanos.
Si los bordes de dos semiplanos abiertos son rectas paralelas no coincidentes, para su unión se presentan los mismos tres casos de la intersección, los cuales se describen a continuación:
- Si cada semiplano es parte del semiplano opuesto del otro, su unión es la figura formada por los dos semiplanos.
- Cuando uno de los semiplanos es parte del otro, su unión es el semiplano incluyente.
- En caso de que un semiplano incluye el semiplano opuesto del otro, su unión es todo el plano.
Unión de dos semiplanos abiertos cuyos bordes se cortan
Cuando los bordes de dos semiplanos abiertos se cortan, la unión de los semiplanos es el interior del ángulo unión determinado por ellos, el cual no incluye los lados ni contiene el vértice del ángulo.
¿Qué es un semiplano cerrado? ↑
En esta sección se define el concepto de semiplano cerrado y se establece la diferencia entre semiplano abierto y semiplano cerrado.
Definiciones de semiplano cerrado
Conoces que si trazas una recta r en un plano \alpha se generan tres conjuntos de puntos: la recta r y los dos semiplanos abiertos de borde r.
Si agregas a cada semiplano abierto su borde, obtienes un semiplano cerrado.
Entonces podemos definir este concepto como una figura geométrica que se obtiene de un semiplano abierto agregando su borde.
Esta definición de semiplano cerrado es genética porque describe cómo se obtiene un semiplano cerrado a partir de un semiplano abierto.
La definición nos indica que un semiplano cerrado no es la mitad de un plano porque de las tres partes que se generan al trazar una recta, el semiplano cerrado está formado por dos de ellas.
Los semiplanos cerrados solo cumplen la tercera propiedad de la definición explícita de semiplano abierto; el resto no las cumplen.
Podemos modificar esta definición y formular una definición explícita de semiplano cerrado.
Un conjunto C_{1} de puntos de un plano \alpha es un semiplano cerrado si y solo si existe una recta r situada en \alpha y un conjunto de puntos C_{2} con las propiedades siguientes:
- Los puntos comunes de C_{1} y C_{2} forman la recta r.
- La unión de C_{1} y C_{2} es el plano \alpha.
- El segmento cerrado que une un punto de C_{1}, no situado en r, con un punto de C_{2}, no situado en r, corta a la recta r.
- El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de C_{1} o de C_{2}, no situados en r, no tiene puntos comunes con la recta r.
Notación y nombre de los semiplanos cerrados
Los semiplanos cerrados se denotan y nombran de igual forma que los semiplanos abiertos, pero colocando una raya encima del símbolo que designa el semiplano al estilo de «semiplano \overline{rP}», «semiplano \overline{rP^{+}}», «semiplano \overline{rP^{-}}», «semiplano \overline{PQR^{+}}» o «semiplano \overline{PQR^{-}}».
En general, en matemática una raya encima del símbolo de un conjunto, denota una operación que consiste en agregar al conjunto sus puntos de acumulación para obtener un conjunto cerrado.
¿Cómo construir un semiplano cerrado?
La construcción de un semiplano cerrado se realiza de igual forma que la de un semiplano abierto. Basta con trazar una recta r en un plano y después considerar la figura formada por la recta r y por uno de los semiplanos abiertos obtenidos.
En este caso es conveniente representar la recta r mediante una línea continua para expresar que sus puntos pertenecen al semiplano considerado.
Diferencia entre semiplano abierto y semiplano cerrado
Para comparar los conceptos de semiplano abierto y semiplano cerrado, apelamos a sus respectivas definiciones explícitas.
La diferencia fundamental entre un semiplano abierto y el semiplano cerrado correspondiente consiste en que el semiplano abierto no contiene los puntos del borde, mientras que el semiplano cerrado sí, es decir, el primero es un conjunto abierto, mientras el segundo es un conjunto cerrado.
Intersección de semiplanos cerrados
La intersección de semiplanos cerrados también es una operación interesante porque como los semiplanos cerrados son conjuntos de puntos, tiene sentido considerar los puntos comunes de dos semiplanos cerrados del mismo plano.
En la intersección de dos semiplanos cerrados se presentan los mismos casos que en la intersección de dos semiplanos abiertos, según la relación de posición entre los bordes.
El caso más interesante de la intersección de dos semiplanos cerrados con bordes paralelos ocurre cuando cada semiplano incluye el semiplano opuesto del otro. En este caso su intersección es una figura llamada franja cerrada.
Si los bordes de los semiplanos se cortan, su intersección es una figura como la de la imagen a la cual en algunos libros se le llama ángulo intersección.
A un ángulo intersección así formado pertenece el punto de intersección de los bordes de los semiplanos (vértice del ángulo), pero esto no es conveniente en la definición de ángulo porque al aplicarse en un ángulo llano este quedaría indeterminado.
Unión de semiplanos cerrados
La unión de dos semiplanos cerrados se trata por analogía con la unión de semiplanos abiertos teniendo en cuenta la relación de posición entre sus bordes.
Cuando los bordes de dos semiplanos cerrados coinciden, estos semiplanos pueden ser coincidentes u opuestos.
La unión de dos semiplanos cerrados opuestos es el plano, según la segunda propiedad de la definición explícita de semiplano cerrado.
En cambio, cuando dos semiplanos cerrados coinciden, su unión es cualquiera de los dos.
Si los bordes de dos semiplanos cerrados son rectas paralelas no coincidentes, para su unión se presenta uno de los tres casos que se describen a continuación.
- Cuando cada semiplano es parte del semiplano opuesto del otro, su unión es la figura formada por los dos semiplanos.
- Si uno de los semiplanos es parte del otro, su unión es el semiplano incluyente.
- Cuando un semiplano incluye el semiplano opuesto del otro, su unión es todo el plano.
¿Qué es un semiplano? ↑
En la primera sección he respondido la pregunta ¿qué es un semiplano abierto? y en la segunda, ¿qué es un semiplano cerrado?, pero la pregunta que encabeza esta sección, todavía está sin responder.
Para contestar esta pregunta nos valemos de una definición por extensión estableciendo que un semiplano es un semiplano abierto o un semiplano cerrado.
Entonces para saber si una figura es un semiplano, debes determinar si es un semiplano abierto o un semiplano cerrado aplicando las definiciones de estos conceptos que he tratado en las secciones anteriores.
Bandera en geometría ↑
Ya conoces que un semiplano abierto no es la mitad de un plano y que un semiplano cerrado tampoco lo es. El concepto de bandera es el que más se acerca a la mitad del plano.
En esta sección expongo la definición de bandera en geometría, las formas de denotar y nombrar una bandera, la intersección y unión de banderas.
La importancia de las banderas en geometría se explica por su uso en la definición del concepto de ángulo y el establecimiento de una orientación del plano.
Para comprender qué es una bandera debes saber qué es una semirrecta abierta y una semirrecta cerrada.
Si O y A son puntos diferentes de una recta r, la semirrecta abierta de origen O que pasa por el punto A se denota por OA u OA^{+}, se nombra como «semirrecta OA» o «semirrecta OA^{+}» y es el conjunto formado por el punto A, los puntos de la recta r situados entre O y A , así como por los puntos P de la recta r tales que A está situado entre O y P.
El conjunto de todos los puntos de la recta r diferentes de O, no situados en la semirrecta OA, se llama semirrecta opuesta de OA y se denota por OA^{-}.
Si a la semirrecta OA agregamos su origen O, obtenemos la semirrecta cerrada OA que denotamos por \overline{OA^{+}}.
Definición genética de bandera
Tracemos una recta r en un plano \alpha, seleccionemos un punto Q en este plano no situado en r y seleccionemos dos puntos O y P en esta recta. Si agregamos al semiplano abierto rQ la semirrecta abierta OP, obtenemos una figura llamada bandera de la semirrecta OP que contiene el punto Q.
De acuerdo con esta idea, una bandera se obtiene agregando a un semiplano abierto una semirrecta abierta incluida en su borde.
Para representar gráficamente esta idea, se dibuja un pequeño paralelogramo en la semirrecta de la bandera que esté incluido en el semiplano de la bandera como muestra la imagen.
Esta bandera se denota y nombra utilizando la semirrecta OP y el punto Q al estilo de «bandera OPQ» o «bandera OP^{+}Q^{+}».
Obviamente, el conjunto de puntos formado por el semiplano OPQ^{-}, opuesto al semiplano OPQ^{+}, y la misma semirrecta OP es también una bandera de la semirrecta OP a la cual se le llama bandera opuesta de OP^{+}Q^{+} y se denota por OP^{+}Q^{-}.
También la semirrecta opuesta de OP determina dos banderas en el plano \alpha: las banderas OP^{-}Q^{+} y OP^{-}Q^{-}.
Definición explícita de bandera
Podemos formular una definición explícita de bandera por analogía con las definiciones explícitas de semiplano abierto y semiplano cerrado.
Un conjunto B_{1} de puntos de un plano \alpha es una bandera si y solo si existe una semirrecta abierta OP situada en \alpha y un conjunto de puntos B_{2} con las propiedades siguientes:
- Los puntos comunes de B_{1} y B_{2} forman la semirrecta OP.
- La unión de B_{1} y B_{2} es el plano \alpha sin los puntos de la semirrecta cerrada \overline{OP^{-}}.
- El segmento cerrado que une un punto de B_{1}, no situado en la semirrecta OP, con un punto de B_{2}, no situado en la semirrecta OP, tiene a lo sumo un punto común con la semirrecta OP.
- El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de B_{1} o B_{2}, no situados en la semirrecta OP, no tiene puntos comunes con la semirrecta OP.
El conjunto B_{2} también es una bandera y se llama bandera opuesta de la bandera B_{1}. La semirrecta OP se llama la semirrecta de las banderas B_{1} y B_{2}.
De acuerdo con la segunda propiedad de la definición, no es correcto afirmar que una bandera es la mitad de un plano porque al considerar una bandera OP^{+}Q^{+} en un plano, este se descompone en tres conjuntos: la bandera OP^{+}Q^{+}, la bandera OP^{-}Q^{-} y el punto O, pues este punto no pertenece a ninguna de estas dos banderas.
Las banderas no son conjuntos abiertos ni cerrados.
Intersección de banderas
La intersección de dos banderas es más importante que la intersección de dos semiplanos porque genera un ángulo intersección que es una figura fundamental en geometría.
El estudio de la intersección de dos banderas se realiza de forma análoga que el estudio de la intersección de dos semiplanos. En este caso se considera la relación de posición de las rectas que contienen las semirrectas de las banderas.
El caso más interesante que se presenta cuando las semirrectas de las banderas forman parte de rectas paralelas, ocurre cuando las banderas son opuestas. En este caso su intersección es su semirrecta común, llamada ángulo intersección nulo.
Por otra parte, el caso más interesante que se presenta cuando las semirrectas de las banderas son parte de rectas que se cortan, ocurre cuando estas semirrectas tienen origen común. En este caso la intersección de las banderas se llama ángulo intersección no nulo.
Observa que el origen de las semirrectas de las dos banderas no pertenece al ángulo intersección generado por la intersección de las dos banderas.
Unión de banderas
La unión de dos banderas, al igual que la intersección, es una operación más importante que la unión de dos semiplanos porque genera un ángulo unión que es una figura fundamental en geometría.
El estudio de la unión de dos banderas también se realiza considerando la relación de posición entre las rectas que incluyen sus semirrectas.
El caso más interesante de la unión de dos banderas cuando las rectas que incluyen sus semirrectas son paralelas, ocurre si estas semirrectas son opuestas y las banderas comparten el mismo semiplano abierto. En este caso la unión de las dos banderas es una figura llamada ángulo unión llano.
El origen de las semirrectas de las banderas es el vértice del ángulo y no pertenece a este porque las semirrectas son abiertas. Las semirrectas son los lados del ángulo.
El caso más interesante de unión de dos banderas cuando las rectas que incluyen sus semirrectas se cortan, ocurre cuando estas semirrectas tiene su origen común. La figura generada por la unión se llama ángulo sobreobtuso.
Los lados del ángulo son las semirrectas de las banderas y el vértice es el origen de estas semirrectas y no pertenece al ángulo por tratarse de semirrectas abiertas.
¿Por qué existen los semiplanos y las banderas? ↑
En geometría no solo interesa las definiciones de los conceptos, sino también las proposiciones que fundamentan la existencia de los objetos de tales conceptos.
La existencia de semiplanos abiertos, semiplanos cerrados o banderas se basa en que toda recta de un plano divide a este en dos semiplanos abiertos. Esta proposición se acepta sin demostración y por eso tiene el estatus de axioma; es uno de los axiomas de orden.
El axioma afirma lo siguiente:
Toda recta r en un plano \alpha descompone los puntos de \alpha, no situados en r, en dos conjuntos S_{1} y S_{2} con las propiedades siguientes:
- S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes con la recta r.
- Los conjuntos S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes entre sí.
- La unión de S_{1}, S_{2} y r es el plano \alpha.
- El segmento cerrado que une un punto de S_{1} con un punto de S_{2} corta a la recta r.
- El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de S_{1} o de S_{2} no tiene puntos comunes con la recta r.
En este axioma están involucrados los conceptos de plano, recta y segmento y expresa una propiedad importante de las rectas y los planos.
En el axioma aparece el concepto de segmento en el cual está involucrada la relación de orden de los puntos de una recta y por eso se considera un axioma de orden.
Conclusiones ↑
A continuación presento a modo de resumen una comparación entre los conceptos de semiplano abierto, semiplano cerrado y bandera utilizando cuatro propiedades.
| Tabla 1: Comparación de los conceptos de semiplano abierto, semiplano cerrado y bandera. | |||
|---|---|---|---|
| Propiedad | Semiplanos abiertos S_{1} y S_{2} de borde r. | Semiplanos cerrados C_{1} y C_{2} de borde r. | Banderas B_{1} y B_{2} de la semirrecta OP^{+} contenida en r. |
| Puntos comunes con r | S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes con r. | Los puntos comunes de C_{1} y C_{2} con r son todos los puntos de r. | Los puntos comunes de B_{1} y B_{2} con r son todos los puntos de la semirrecta OP^{+}. |
| Unión con su opuesto | La unión de S_{1} y S_{2} es el plano \alpha sin los puntos de r. | La unión de C_{1} y C_{2} es el plano \alpha. | La unión de B_{1} y B_{2} es el plano \alpha sin los puntos de la semirrecta cerrada \overline{OP^{-}}. |
| Puntos comunes entre opuestos | S_{1} y S_{2} no tienen puntos comunes. | Los puntos comunes de C_{1} y C_{2} son los puntos de r. | Los puntos comunes de B_{1} y B_{2} son los puntos de la semirrecta OP^{+}. |
| Relación entre el borde y un segmento cerrado del plano | El segmento cerrado que une un punto de S_{1} con un punto de S_{2} corta a r. | El segmento cerrado que une un punto de C_{1} con un punto de C_{2} tiene un punto común con r o es parte de r. | El segmento cerrado que une un punto de B_{1} con un punto de B_{2} tiene un punto común con r, es parte de r o no tiene puntos comunes con r. |
| El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de S_{1} o de S_{2} no tiene puntos comunes con r. | El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de C_{1} o de C_{2} no tiene puntos comunes con r, tiene un punto común con r o es parte de r. | El segmento cerrado que une dos puntos cualesquiera de B_{1} o de B_{2} no tiene puntos comunes con r, tiene un punto común con r o es parte de r. | |
Ejercicios sobre semiplanos y banderas ↑
1. En la imagen siguiente se han representado tres rectas a, b y c que se cortan en los puntos A, B y C diferentes.
- Nombra un semiplano abierto generado por cada recta.
- Identifica dos semiplanos abiertos opuestos. Argumenta.
- Nombra dos semiplanos abiertos no opuestos. Argumenta.
2. Sean A, B y C tres puntos diferentes y no alineados de un plano α. Representa mediante operaciones conjuntistas los conjuntos siguientes:
- El semiplano abierto ABC^{+} utilizando el semiplano cerrado \overline{ABC^{+}}.
- La bandera BA^{+}C^{-} utilizando el semiplano abierto BAC^{-}.
- El semiplano abierto ACB^{-} utilizando la bandera AC^{+}B^{-}.
- El semiplano cerrado \overline{BCA^{+}} utilizando la bandera BC^{+}A^{+}.
- La bandera BA^{+}C^{+} utilizando el semiplano cerrado \overline{BAC^{+}}.
- El semiplano cerrado \overline{BCA^{+}} utilizando el semiplano abierto BCA^{+}.
- El semiplano abierto ABC^{+} utilizando el plano \alpha, la recta AB y el semiplano abierto ABC^{-}.
3. Demuestra que ningún rectángulo es un semiplano abierto.
4. ¿Cuántos semiplanos determinan tres puntos diferentes? ¿Cuál es la diferencia entre plano y semiplano con respecto a esta característica?
5. Demuestra las propiedades siguientes de rectas en semiplanos:
- Ningún semiplano incluye rectas que cortan a su borde.
- En todo semiplano existen infinitas rectas paralelas a su borde.
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