El cálculo de potencias de exponente natural de la forma a^n al estilo de 3^2 y 5^2 es muy sencillo porque se reduce a una multiplicación. Las dudas surgen cuando el exponente n es cero o cuando la base a es cero y particularmente cuando ambos son cero, es decir, cuando se presenta la potencia cero a la cero.
La explicación está basada en la definición de potencia de exponente natural de un número real y en algunas de sus propiedades que trato primeramente.
Potencia de exponente natural [↑]
En matemática se utilizan las definiciones para establecer los significados de nuevos símbolos a partir de símbolos de significados conocidos.
En el caso de los números, se suele utilizar una regla mediante una igualdad para establecer el significado de un nuevo símbolo.
Un ejemplo de esto se presenta con el símbolo a^n que representa la potencia de exponente natural de un número real a.
Cuando n≠0, la base a de la potencia puede ser un número real cualquiera, es decir, tanto un número natural como 0, 1 o 2; un número entero negativo como -5 y -6, un número fraccionario al estilo de \frac{1}{2} y \frac{2}{3}, un número racional negativo al estilo de -{\frac{1}{2}} y -{\frac{3}{4}} o un número irracional como \sqrt {2}.
Cuando n=0, la base a puede ser cualquier número real, excepto cero, porque cero a la cero es una expresión indeterminada; más adelante te explicaré por qué.
La explicación necesita de la definición de las potencias de exponentes mayor que cero y de algunas de sus propiedades.
Potencia de exponente dos [↑]
La potencia de exponente dos de un número a se representa por a^2 (se lee: a la dos o a al cuadrado) y se define mediante la regla siguiente:
a^2 = a\cdot a .Según la regla anterior, se tiene ( -a )^2 = ( -a )\cdot ( -a ). Pero como se cumple (-a)\cdot (-a) = a\cdot a, entonces a^2 = (-a)^2, es decir, un número y su opuesto tienen el mismo cuadrado o potencia de exponente 2.
A veces la propiedad anterior se formula afirmando que los cuadrados de un número y su opuesto son iguales.
También aplicando la definición del cuadrado de un número se puede demostrar la propiedad siguiente:
Si a^2 = b^2, entonces a=b o a=-b, es decir, si los cuadrados de dos números son iguales, entonces estos números son iguales u opuestos.
Potencia de exponente natural mayor que dos [↑]
Aquí trato las reglas que establecen el significado del símbolo a^n cuando n es un número natural mayor que dos, es decir, cuando n es un elemento del conjunto {3, 4, 5, …}.
El significado del símbolo a^n para n>2 es una multiplicación. Por ejemplo:
a^3 = a\cdot a\cdot a. a^4 = a\cdot a\cdot a\cdot a. a^5 = a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a.El producto a\cdot a\cdot a se puede hallar calculando primero a\cdot a que es a^2 y después multiplicando ese resultado por a, o sea,
a^3 = a^2\cdot a.De igual forma se puede establecer el significado de a^4 como a^3\cdot a y el de a^5 como a^4\cdot a.
En resumen, las reglas para las tres primeras potencias de exponente mayor que dos son las siguientes:
a^3 = a^2\cdot a. a^4 = a^3\cdot a. a^5 = a^4\cdot a.Para evitar escribir una regla que exprese para cada exponente n>2 el significado de a^n, procuramos escribir una que generalice las reglas particulares.
Observa que el miembro derecho de cada una de las reglas anteriores contiene un producto cuyo segundo factor es a y el primer factor es una potencia de a.
El exponente de esta potencia es el antecesor del exponente de la potencia de a del miembro izquierdo, es decir, las igualdades tienen la forma siguiente:
a^n = a^{n-1}\cdot a.Si intentamos utilizar esta igualdad para definir a^2, resultaría a^2 = a^1\cdot a que contiene la potencia a^1, no definida todavía.
Por esta razón, se necesita una regla para definir a^2 y otra para definir las potencias de exponente mayor que 2, es decir, las reglas siguientes:
a^2 = a\cdot a. a^n = a^{n-1}\cdot a (n=3, 4, 5, \dots).Producto de potencias de igual base [↑]
Utilizando las reglas anteriores se puede demostrar que para todo número real a y todos los números naturales m y n mayores que uno se cumple:
a^m\cdot a^n = a^{m+n}.Esta propiedad se suele formular afirmando que para calcular un producto de dos potencias de igual base se coloca la misma base y se suman los exponentes. Por ejemplo, 3^2\cdot 3^4 = 3^{2+4} = 3^6.
Potencia de exponente uno [↑]
Si en la igualdad a^n = a^{n-1}\cdot a , sustituimos a n por 2 resulta la igualdad a^2 = a^1\cdot a que contiene a la potencia de base a y exponente 1.
Debemos definir la potencia de exponente uno de modo que no conduzca a contradicciones con la regla para la potencia de exponente 2, es decir, que debe cumplirse a^2 = a^1\cdot a.
Si exigimos, además, que la potencia a^1 cumpla la propiedad del producto de potencias de igual base, se tendría que a^1\cdot a^1 = a^{1+1}.
Pero (a^1)^2 = a^1\cdot a^1, según la definición del cuadrado de un número. Por tanto:
(a^1)^2 = a^1\cdot a^1 = a^{1+1} = a^2.De las igualdades anteriores resulta (a^1)^2 = a^2.
Esta igualdad nos indica que los cuadrados de los números a^1 y a son iguales. Por tanto, estos números son iguales u opuestos, o sea, a^1 = a o a^1 = -a.
Si consideramos a^1 = a y sustituimos en la igualdad a^2 = a^1\cdot a, obtendríamos a^2 = a^1\cdot a = a\cdot a = a^2 y en consecuencia a^2 = a^2, que es una igualdad válida para todo número real a.
Por otra parte, si consideramos a^1 = -a y sustituimos en a^2 = a^1\cdot a, obtendríamos las igualdades a^2 = a^1\cdot a = (-a)\cdot a = -a^2, de donde resultaría a^2 = -a^2 que solo es válida para a = 0.
Observa que no he demostrado la igualdad a^1 = a porque he utilizado a^1 sin definir, sino que he argumentado por qué es conveniente definir la potencia de exponente uno mediante la regla a^1 = a.
Ahora con esta nueva regla podemos extender la regla a^n = a^{n-1}\cdot a para n mayor que uno de modo que con las dos reglas siguientes quedan definidas las potencias de exponente natural mayor que cero:
a^1 = a. a^n = a^{n-1}\cdot a (n = 2, 3, 4, \dots).Potencia de exponente cero [↑]
Si en la regla a^n = a^{n-1}\cdot a, sustituimos a n por 1 resulta la conocida igualdad a^1 = a^0\cdot a que contiene la potencia de base a y exponente 0.
Esto significa que resulta conveniente definir la potencia de exponente cero y base diferente de cero mediante la regla a^0 = 1.
Es por eso que esta regla se utiliza como definición de la potencia a^0 para a\neq0.
¿Por qué cero a la cero no está definida? [↑]
Si en la igualdad a^1 = a^0\cdot a sustituimos a la variable a por el número 0 resulta 0=0^0\cdot 0, pues 0^1=0.
Esta igualdad es válida cualquiera sea el valor de 0^0, es decir, 0^0 puede ser cualquier número y por eso se dice que es una expresión indeterminada.
Observa que todas las potencias de exponente natural están definidas mediante las reglas presentadas en este escrito, la única potencia indeterminada y no definida es cero a la cero.
Cero a la cero en la matemática superior [↑]
Muchos de los conocimientos matemáticos que aprendes en la educación media son necesarios para la matemática universitaria.
Aunque cero a la cero es una expresión indeterminada en matemática, ello no significa que no aparezca con frecuencia en el cálculo y por eso debes saber que esta expresión tiene el mismo estatus de \frac{0}{0}.
Notas finales sobre cero a la cero [↑]
La explicación de por qué 0^0 es un símbolo indeterminado y no definido se basa en que debe satisfacer la igualdad 0 = 0^0\cdot 0 proveniente de la regla a^1 = a^0\cdot a para a = 0 que debe cumplirse para una potencia de exponente uno.
En mi experiencia docente de muchos años me he tropezado con que los alumnos conocedores de que cero a la cero es una expresión no definida, no saben por qué. Si tú estás también en ese caso, espero haberte ayudado a esclarecer tu duda.
También se presentan dudas en explicar por qué no existe el logaritmo de 0. Ese tema lo trato en un escrito al que puedes acceder mediante clic en el enlace.
Finalmente, me queda pedirte que compartas este escrito con tus amigos de las redes sociales.
Es muy didáctico y ameno.