Si tienes interés en saber cuáles son los ángulos adyacentes, te invito a que leas este escrito porque en él te lo explico utilizando ejemplos ilustrativos y también te explico cuándo dos ángulos no son adyacentes.
En la tabla de contenidos aparecen todos los aspectos del tema que incluye el escrito. Espero que te sea útil para profundizar tus conocimientos geométricos.
Si eres estudiante de primaria, de educación media, universitario o incluso maestro o profesor te Matemática, estoy seguro de que la lectura de todo el escrito te será provechosa porque incluyo en él aspectos que no suelen tratarse explícitamente en los libros de geometría.
También respondo tus preguntas. Si deseas formular alguna, utiliza la sesión de los comentarios. Quizás tu pregunta sea tan interesante que merezca agregar una sección al artículo para responderla.
Concepto de ángulos adyacentes [↑]
Todo ángulo tiene dos lados y un vértice, independientemente de la definición de ángulo que asumamos.
Definición de ángulos adyacentes
Cuando hablamos de ángulos adyacentes nos estamos refiriendo a una relación entre dos ángulos, referente a su cercanía porque la palabra adyacente en idioma español aplicada a objetos significa que un objeto está unido o muy próximo a otro.
Para definir este concepto utilizamos tres propiedades. La primera relaciona los vértices de los ángulos y las dos restantes sus lados.
La palabra “respectivamente” viene a nuestro auxilio para economizar el lenguaje porque la frase “dos lados respectivamente opuestos” significa que un lado de un ángulo es opuesto a un lado del otro ángulo.
Los ángulos AOB y BOC de la imagen son adyacentes porque cumplen las tres propiedades de la definición:
- Tienen el mismo vértice.
- Poseen un lado común.
- Tienen dos lados respectivamente opuestos.
Observa que en la definición, además de exigir que los dos ángulos tengan un lado común, también se exige que tengan dos lados respectivamente opuestos.
Si nos guiáramos solo por el uso en el lenguaje común, no tendríamos en cuenta la propiedad referida a los dos lados respectivamente opuestos porque con la primera propiedad bastaría para que los ángulos fueran adyacentes.
¿Cómo nombrar la relación de adyacencia entre ángulos?
El uso correcto de la frase “ángulos adyacentes” en el lenguaje requiere mencionar los dos ángulos; por ejemplo, “los ángulos (p,q) y (q,r) son adyacentes” o “el ángulo (p,q) es adyacente al ángulo (q,r)”.
En esta última frase en lugar de la preposición “a”, también puede utilizarse la preposición “con” al estilo de “el ángulo (p,q) es adyacente con el ángulo (q,r)”.
Además podemos utilizar la preposición “de”, pero en vista de que un ángulo puede tener hasta dos ángulos adyacentes, la frase correcta debe formularse con el uso del artículo indeterminado “un” al estilo de “el ángulo (q,r) es un ángulo adyacente de (p,q)”.
Otra opción es emplear el símbolo de ángulo para expresar que dos ángulos son adyacentes. Por ejemplo, “\angle(p,q) es adyacente a \angle(q,r)”.
Si empleamos tres letras para denotar los ángulos, una forma de expresar que dos ángulos son adyacentes es, por ejemplo, “el ángulo AOB es adyacente al ángulo BOC” o “los ángulos AOB y BOC son adyacentes”.
Ejemplos de ángulos adyacentes [↑]
Un ejemplo de ángulos adyacentes es un par de ángulos que cumple las propiedades de la definición.
Los ángulos (p,q) y (q,r) de la imagen son adyacentes porque tienen el mismo vértice, un lado común y dos lados respectivamente opuestos.
Observa en la imagen que he denotado los lados de los ángulos con una letra minúscula porque son semirrectas y las semirrectas se pueden denotar con una letra latina minúscula.
La letra q se repite porque los ángulos tienen un lado común y esta letra denota un lado de cada ángulo.
Otro ejemplo de ángulos adyacentes es el de la imagen siguiente. En este caso el ángulo AOB es adyacente al ángulo BOC.
En este ejemplo he utilizado tres letras mayúsculas para denotar los ángulos; la segunda designa el vértice.
Como los ángulos tienen el vértice común, la letra O se repite y lo mismo sucede con la letra B por denotar un punto del lado común.
Pares de ángulos no adyacentes [↑]
Estoy seguro de que te ayuda a conocer qué son los ángulos adyacentes si observas pares de ángulos que no lo sean, es decir, pares de ángulos que no cumplan una, dos o las tres propiedades de la definición.
Si tenemos en cuenta que cada propiedad de la definición se puede cumplir o no, pudieran existir ocho variantes para el cumplimiento o no de las propiedades de la definición de ángulos adyacentes, según se muestra en la Tabla 1.
| Tabla 1: Variantes del cumplimiento de las propiedades de la definición. | |||
|---|---|---|---|
| Caso | Propiedades | ||
| Vértice común | Un lado común | Dos lados respectivamente opuestos | |
| 1 | Sí | Sí | Sí |
| 2 | Sí | Sí | No |
| 3 | Sí | No | Sí |
| 4 | Sí | No | No |
| 5 | No | Sí | Sí |
| 6 | No | Sí | No |
| 7 | No | No | Sí |
| 8 | No | No | No |
El caso 1 de la tabla ocurre cuando se cumplen las tres propiedades de la definición. Analicemos los casos en que no se cumple al menos una, es decir, en que los ángulos no son adyacentes.
Los ejemplos que corresponden a estos casos son ejemplos de ángulos no adyacentes, es decir, no ejemplos de ángulos adyacentes.
Ángulos no adyacentes con el vértice común y un lado común
Para que ocurra el caso 2 deben cumplirse las dos primeras propiedades y no cumplirse la tercera, es decir, los ángulos tienen el vértice común, un lado común, pero no tienen dos lados respectivamente opuestos. La imagen siguiente constituye un ejemplo de este caso.
Observa que la semirrecta OB es un lado común de los dos ángulos, pero que los ángulos no tienen lados respectivamente opuestos.
Cuando esto ocurre se dice que los ángulos son consecutivos no adyacentes porque dos ángulos se consideran consecutivos si tienen el vértice común y un lado común.
De acuerdo con esto si dos ángulos son adyacentes, son consecutivos, pero pueden ser consecutivos como los de la imagen y no ser adyacentes.
Entonces la diferencia entre ángulos adyacentes y consecutivos la determina el cumplimiento de la tercera propiedad de la definición, pues los adyacentes deben tener dos lados respectivamente opuestos, mientras los consecutivos pueden cumplir o no esta propiedad.
Ángulos no adyacentes con el vértice común y dos lados respectivamente opuestos
El caso 3 ocurre cuando se cumplen la primera propiedad y la tercera y no se cumple la segunda, es decir, los ángulos tienen el vértice común, dos lados respectivamente opuestos, pero no tienen un lado común. Los ángulos AOB y COD de la imagen constituyen un ejemplo de este caso.
Otro ejemplo de ángulos no adyacentes con el vértice común y dos lados respectivamente opuestos son los ángulos AOB y COD de la imagen siguiente. En este caso los ángulos tienen los lados respectivamente opuestos. Cuando esto ocurre, decimos que los ángulos son opuestos por el vértice.
Entonces si dos ángulos son opuestos por el vértice, no son adyacentes y viceversa.
Ángulos no adyacentes sin un lado común ni lados respectivamente opuestos
Nos encontramos con el caso 4 cuando se cumple la primera propiedad y no se cumplen la segunda y la tercera, es decir, cuando los ángulos tienen el vértice común, pero no tienen un lado común ni dos lados respectivamente opuestos. En la imagen, los ángulos AOB y COD representan este caso.
Casos imposibles
El caso 5 ocurriría si no se cumpliera la primera propiedad y se cumplieran la segunda y la tercera, es decir, en casos de ángulos que no tuvieran el vértice común, pero tuvieran un lado común y dos lados respectivamente opuestos.
Pero este caso no puede ocurrir porque incluye dos contradicciones. La primera consiste en que si los ángulos tienen un lado común, poseen el vértice común porque dos semirrectas coincidentes tienen el mismo origen.
La segunda contradicción consiste en que si los ángulos tienen dos lados respectivamente opuestos, estos lados son semirrectas opuestas y por tanto tienen el mismo origen.
Los casos 6 y 7 tampoco son posibles porque incluyen una de las contradicciones del caso 5.
Ángulos no adyacentes sin el vértice común, un lado común ni lados respectivamente opuestos
El caso 8 ocurre cuando no se cumple ninguna de las tres propiedades de la definición, es decir, los ángulos no tienen el vértice común, un lado común ni dos lados respectivamente opuestos como ocurre con los ángulos AOB y PQR de la imagen siguiente.
Ángulo adyacente a un ángulo nulo [↑]
Dos casos especiales de ángulos son los ángulos nulos y los ángulos llanos.
Un ángulo es nulo si sus lados coinciden, es decir, si es una semirrecta abierta como la representada en la imagen.
Para mantener la notación usual de los ángulos, en lugar de denotar un ángulo nulo como una semirrecta abierta lo denotamos como un par de semirrectas al estilo de (p,p) o utilizando tres letras, pero repitiendo una al estilo de AOA.
Un ángulo es llano si sus lados son semirrectas opuestas como el ángulo AOB de la siguiente imagen.
Surge la pregunta de si todo ángulo nulo tiene ángulos adyacentes.
Para responder esta pregunta nos valemos de la definición. Como los dos lados de un ángulo nulo coinciden, un ángulo adyacente a él debe tener como lados el lado del ángulo nulo y la semirrecta opuesta.
Ángulos adyacentes a un ángulo llano [↑]
Surge también la pregunta de si todo ángulo llano tiene ángulos adyacentes. Para responderla también aplicamos la definición utilizando el ángulo llano AOB de la imagen.
Si seleccionamos el lado OA, un ángulo que tiene como vértice O y sus lados son la semirrecta OA y la semirrecta opuesta a OB es la propia semirrecta OA, es decir, el ángulo nulo AOA. Por esta razón, el ángulo nulo AOA es adyacente al ángulo llano AOB.
Si seleccionamos el lado OB, también resulta que el ángulo nulo BOB es adyacente al ángulo llano AOB.
En efecto, los ángulos AOB y BOA de la imagen son el mismo objeto. Ellos tienen el vértice O común, el lado OA común y las semirrectas OA y OB son opuestas. Entonces, según la definición, todo ángulo llano es adyacente a sí mismo.
En algunos libros de geometría este inconveniente se resuelve definiendo el concepto de ángulos adyacentes como dos ángulos que tienen el vértice común, un lado común y los otros dos lados son semirrectas opuestas.
La frase “los otros dos lados” excluye la posibilidad de que todo ángulo llano sea adyacente a sí mismo porque al seleccionar dos lados coincidentes los otros dos también son coincidentes.
Construcción de un ángulo adyacente a otro [↑]
En esta sección trato dos construcciones muy sencillas. La primera se refiere a construir dos ángulos que sean adyacentes (ambos desconocidos) y la segunda consiste en construir un ángulo adyacente a un ángulo conocido.
Ambas construcciones se pueden realizar con una regla; no necesitas de ningún otro instrumento de dibujo.
En las construcciones geométricas es usual, además de crear figuras geométricas, describir la construcción y argumentar la existencia de los objetos que vamos generando.
Construcción de dos ángulos que sean adyacentes
Para construir dos ángulos que sean adyacentes trazamos una recta con la regla como muestra la imagen.
Ahora seleccionamos un punto en la recta trazada y lo denotamos con una letra mayúscula, por ejemplo O.
Como tercer paso trazamos una semirrecta que tenga como origen el punto O, seleccionamos un punto de la semirrecta trazada y lo denotamos con una letra mayúscula, por ejemplo B.
Finalmente seleccionamos dos puntos diferentes de O en la recta trazada en el primer paso y denotamos cada uno con una letra mayúscula, digamos A y C.
De esta manera hemos construido los ángulos AOB y BOC que son adyacentes.
¿Cómo construir un ángulo adyacente a un ángulo conocido?
Para construir un ángulo adyacente a un ángulo dado, basta trazar con una regla la semirrecta opuesta a uno de sus lados.
Construyamos, por ejemplo, un ángulo adyacente al ángulo PQR de la imagen.
Trazamos con una regla la semirrecta opuesta al lado QR.
Ahora seleccionamos un punto en la semirrecta trazada y lo denotamos con una letra mayúscula, por ejemplo, S.
El ángulo PQS es adyacente al ángulo PQR.
Este ejercicio tiene dos soluciones porque si trazamos la semirrecta opuesta al lado QP, obtenemos otro ángulo RQT adyacente al ángulo PQR.
Suma de las amplitudes de dos ángulos adyacentes [↑]
El concepto de ángulos adyacentes tiene aplicación en definir el concepto de ángulo recto, el cual se utiliza para introducir el grado sexagesimal como unidad de medida de la amplitud de un ángulo.
Todo ángulo recto tiene una amplitud de 90 grados (90^\circ), cada ángulo llano una amplitud de 180 grados (180^\circ) y todo ángulo nulo una amplitud de cero grados (0^\circ).
¿Qué ángulos tienen ángulos adyacentes? [↑]
Hemos definido el concepto de ángulos adyacentes utilizando tres propiedades que solo involucran el vértice o los lados de los ángulos de modo que la definición se puede aplicar cualquiera sea el concepto de ángulo que asumamos.
Esto nos conduce a la pregunta que sirve de encabezado a esta sección la cual se puede reformular en términos de si todo ángulo tiene ángulos adyacentes.
Existen tres conceptos de ángulo a los cuales he dedicado otro artículo. A continuación analizo la aplicabilidad de la definición de ángulos adyacentes a cada concepto de ángulo.
Definición para ángulos como unión de dos semirrectas de origen común
Si consideramos que un ángulo es la unión de dos semirrectas de origen común, entonces todo ángulo, excepto el ángulo nulo, tiene dos ángulos adyacentes, según la exposición de las secciones anteriores.
El ángulo nulo tiene un único ángulo adyacente.
Realmente la definición con la enmienda realizada para evitar que todo ángulo llano sea adyacente a sí mismo está formulada de modo que se ajusta perfectamente al concepto de ángulo como unión de dos semirrectas de origen común.
Definición para ángulos intersección o unión
Si consideramos que un ángulo es la intersección o unión de dos banderas, entonces el ángulo QOP de la imagen siguiente es un ejemplo que tiene una amplitud mayor que 180^\circ y menor que 360^\circ (ángulo unión).
Apliquemos la definición de ángulos adyacentes en construir un ángulo adyacente al ángulo unión QOP de la imagen.
Trazamos la semirrecta opuesta al lado OP, seleccionamos un punto R en esta semirrecta y obtenemos el ángulo QOR que es adyacente al ángulo unión QOP.
Entonces para resolver este inconveniente debemos modificar nuevamente la definición explicitando a qué tipos de ángulos se aplica.
Si colocamos como condición que la definición se aplica a ángulos intersección, entonces ningún ángulo nulo tendría ángulo adyacente porque el ángulo llano queda excluido por ser un ángulo unión.
De igual modo, ningún ángulo llano tendría ángulo adyacente por ser un ángulo unión.
Pero estos inconvenientes no tienen consecuencias significativas en geometría. Por esta razón, se pudiera utilizar como condición en la definición que los ángulos son ángulos intersección en caso de que se asuma como concepto de ángulo la intersección o unión de dos banderas.
Definición para ángulos orientados
El concepto de ángulo como un par ordenado de semirrectas de origen común recibe el nombre de ángulo orientado y se utiliza fundamentalmente en trigonometría, donde también es importante el concepto de ángulos adyacentes.
Este concepto se estudia después de los otros dos y de la rotación como movimiento del plano. También presupone conocer el concepto de amplitud de un ángulo como intersección o unión de dos banderas.
A todo ángulo orientado (p,q), donde p y q son dos semirrectas de origen común O, se le asocia la rotación de centro O que transforma la semirrecta p en la semirrecta q.
Si esta se realiza en sentido contrario a las manecillas del reloj, consideramos el ángulo (p,q) orientado positivamente y le asignamos una amplitud con signo positivo el cual no se suele colocar.
En cambio, si la rotación se realiza en el mismo sentido de las manecillas del reloj, consideramos el ángulo (p,q) orientado negativamente y le asignamos una amplitud negativa.
¿Cuántos ángulos adyacentes tiene un ángulo? [↑]
La respuesta a esta pregunta depende del concepto de ángulo que asumamos.
Si concebimos un ángulo como la unión de dos semirrectas de origen común, podemos afirmar que todo ángulo, tiene dos ángulos adyacentes, excepto el ángulo nulo que tiene uno.
Si asumimos que un ángulo es la intersección o unión de dos banderas, obtenemos las proposiciones siguientes:
- Todos los ángulos intersección tienen dos ángulos adyacentes, excepto los ángulos nulos que no tienen.
- Ningún ángulo unión tiene ángulos adyacentes.
Si consideramos los ángulos orientados resultan las proposiciones siguientes:
- Todos los ángulos orientados, excepto los ángulos nulos y los ángulos llanos, tienen dos ángulos adyacentes.
- Los ángulos orientados nulos o llanos no tienen ángulos adyacentes.
Conclusiones [↑]
A modo de resumen sintetizo las diferentes definiciones de ángulos adyacentes en la tabla siguiente:
| Tabla 2: Definiciones de ángulos adyacentes. | |
|---|---|
| Concepto de ángulo | Definición de ángulos adyacentes |
| Unión de dos semirrectas de origen común | Dos ángulos se llaman adyacentes si y solo si tienen el vértice común, un lado común y dos lados no coincidentes y respectivamente opuestos. |
| Intersección o unión de dos banderas | Dos ángulos se llaman adyacentes si y solo si son ángulos intersección, tienen el vértice común, un lado común y dos lados no coincidentes y respectivamente opuestos. |
| Ángulo orientado | Dos ángulos orientados se llaman adyacentes si y solo si tienen la misma orientación, el vértice común, un lado común y dos lados no coincidentes y respectivamente opuestos. |
Ejercicios sobre ángulos adyacentes [↑]
Antes de concluir quiero proponerte que resuelvas los ejercicios siguientes para que complementes tu aprendizaje.
1. En la imagen siguiente se han representado las rectas AB, CD y EF que pasan por el punto O. Responde cada inciso y argumenta.
- Nombra dos ángulos que sean adyacentes.
- Identifica un ángulo adyacente al ángulo AOD.
- Nombra dos ángulos opuestos por el vértice.
- Identifica un ángulo opuesto por el vértice al ángulo AOE.
- Nombra dos ángulos consecutivos no adyacentes.
- Identifica un ángulo consecutivo con el ángulo DOE.
- Nombra dos ángulos con dos lados respectivamente opuestos que no sean adyacentes.
- Identifica dos ángulos con un lado común que no sean adyacentes.
2. Dibuja en tu cuaderno un ángulo como el de la imagen y construye un ángulo adyacente con él. Describe la construcción.
3. ¿Qué relación existe entre dos ángulos adyacentes al mismo ángulo? Ejemplifica.
Muy bonito, práctico y útil. Gracias por su trabajo profe.
Me alegro de que te haya gustado. Gracias por tu comentario.
Como siempre muy didáctico y muy exhaustivo. Me llevó al análisis de casos como el ángulo adyacente a los ángulos nulo y ángulo llano, en los que no había reparado antes.
Gracias profe por ser eternamente maestro.
Me alegra de que te haya sido útil. El escrito sirve de ejemplo de la aparición de objetos que nos llevan a modificar las definiciones matemáticas.